Question

Determine o valor de x de modo que z seja imaginário puro

z=1+2i/1-xi

Answer 1

Dado o número complexo

$z=a+bi$

O número a é a parte real e b a parte imaginária. Dessa forma, ele será imaginário puro, se a = 0.

$z = \frac{1+2i}{1-xi}$

Iremos multiplicar pelo "conjugado" do denominador, a saber: 1+xi:

$z = (\frac{1+2i}{1-xi})(\frac{1+ix}{1+xi})$

$z = \frac{(1+2i)(1+ix)}{(1-xi)(1+ix)}$

$z = \frac{(1+2i)(1+ix)}{1^2-(xi)^2}$

$z = \frac{1+ix+2i+2xi^2}{1^2-x^2i^2}$

Aqui, vamos lembrar que: i² = -1:

$z = \frac{1+ix+2i+2x(-1)}{1^2-x^2(-1)}$

$z = \frac{1+ix+2i-2x}{1+x^2}$

$z = \frac{1-2x+(x+2)i}{1+x^2}$

$z = \frac{1-2x}{1+x^2}+\frac{x+2}{1+x^2}i$

Para ser imaginário puro, deve ter:

$\frac{1-2x}{1+x^2} = 0$

$=>1-2x=0(1+x^2)$

$=>1-2x=0$

$=> -2x=-1$

$=>x=\frac{-1}{-2}$

$=>x=\frac{1}{2}$

Resposta: $x=\frac{1}{2}$