Question

Determine o valor de: $\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}} \\} +\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5} } }$

Answer 1

Resposta: $\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\sqrt{10}+\sqrt{2}$

Explicação passo-a-passo:

Antes de ir diretamente à solução do problema proposto, deve-se lembrar alguns valores associados ao seno e cosseno dos ângulos de $18\textdegree$ e $36\textdegree$. Estes valores não são muito conhecidos, porém é possível calculá-los com o auxílio da trigonometria. Mostrarei abaixo que existe uma fórmula fechada para o $sen(18\textdegree)$, $cos(18\textdegree)$ e $cos(36\textdegree)$. Ao longo da demonstração serão utilizadas algumas das Fórmulas do Arco Complementar, Fórmulas de Prostaférese (ou de Werner), Fórmulas do Arco Duplo, Paridade de Funções Trigonométricas e Equação do Segundo Grau. Sem mais delongas, vamos à obtenção do $sen(18\textdegree)$:

$cos(18\textdegree)=sen(90\textdegree-18\textdegree)=sen(72\textdegree)\ \ \ \Rightarrow$

$cos(18\textdegree)=sen(2 \cdot 36\textdegree)=2 \cdot sen(36\textdegree) \cdot cos(36\textdegree)\ \ \ \Rightarrow$

$cos(18\textdegree)=2 \cdot sen(2 \cdot 18\textdegree) \cdot cos(36\textdegree)=2 \cdot (2\cdot sen(18\textdegree) \cdot cos(18\textdegree)) \cdot cos(36\textdegree)\ \ \ \Rightarrow$

$cos(18\textdegree)=2 \cdot 2\cdot sen(18\textdegree) \cdot cos(18\textdegree)\cdot cos(36\textdegree)\ \ \ e\ \ \ cos(18\textdegree)>0 \ \ \ \Rightarrow$

$1=2 \cdot (2\ \cdot sen(18\textdegree) \cdot cos(36\textdegree))=2 \cdot(sen(18\textdegree+36\textdegree)+sen(18\textdegree-36\textdegree))\ \ \ \Rightarrow$

$1=2 \cdot (sen(54\textdegree)-sen(18\textdegree))=2 \cdot(cos(90\textdegree-54\textdegree)-sen(18\textdegree))\ \ \ \Rightarrow$

$1=2 \cdot (cos(2 \cdot 18\textdegree) -sen(18\textdegree))=2 \cdot(1- 2 \cdot sen^{2}(18\textdegree)-sen(18\textdegree))\ \ \ \ \ \ (i)$

Fazendo $sen(18\textdegree)=\beta$ em $(i)$ e "arrumando" a expressão, obtemos a seguinte equação quadrática em $\beta$:

$4\beta^{2}+2\beta -1=0\ \ \ \ \ \ (ii)$

Resolvendo $(ii)$ e lembrando que $0 < sen(18\textdegree)=\beta < 1$, obtém-se o seguinte valor para $\beta =sen(18\textdegree)$:

$\beta = sen(18\textdegree)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\ \ \ \ \ \ (iii)$

De $(iii)$ também podemos encontrar os seguintes valores para $cos(18\textdegree)$ e $cos(36\textdegree)$:

$cos(18\textdegree)=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\ \ \ \ \ \ (iv)$

$cos(36\textdegree)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\ \ \ \ \ \ (v)$

Tendo todas as relações acima e chamando $\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$ de $\alpha$, vamos à resolução do exercício:

$\alpha= \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha =\sqrt{8+8 \cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}+\sqrt{8-8 \cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha =\sqrt{8+8 \cdot cos(18\textdegree)}+\sqrt{8-8 \cdot cos(18\textdegree)}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha = \sqrt{8(cos(0\textdegree)+cos(18\textdegree))}+\sqrt{8(cos(0\textdegree)-cos(18\textdegree))}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha = \sqrt{8(2 \cdot cos(9\textdegree) \cdot cos(9\textdegree))}+\sqrt{8(-2 \cdot sen(9\textdegree) \cdot sen(-9\textdegree))}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha =\sqrt{16 \cdot cos^{2}(9\textdegree)}+\sqrt{16 \cdot sen^{2}(9\textdegree)}=4 \cdot (sen(9\textdegree)+cos(9\textdegree))\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha =4 \cdot (sen(9\textdegree)+sen(90\textdegree-9\textdegree))=4 \cdot (sen(9\textdegree)+sen(81\textdegree))\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha = 4 \cdot(2 \cdot sen(45\textdegree) \cdot cos(-36\textdegree))= 8 \cdot sen(45\textdegree) \cdot cos(36\textdegree)\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{4}=\sqrt{2}(\sqrt{5}+1})\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha = \sqrt{10}+\sqrt{2}$

Logo:

$\alpha = \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\sqrt{10}+\sqrt{2}$.

Abraços!

Answer 2

Resposta: $\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\sqrt{10}+\sqrt{2}$

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, faz-se necessário lembrar das duas fórmulas utilizadas para o cálculo de um Radical Duplo. Tais fórmulas são muito importantes e também de grande utilidade na resolução (simplificação) de alguns radicais quadráticos duplos. Elas são utilizadas no intuito de transformar um radical duplo em uma soma de dois radicais quadráticos simples, desde que seja possível realizar tal transformação. Considerando $A$ e $B$ números naturais ($A,\ B\ \in\ \mathbb{N}$) com $A^{2}-B\geq 0$, obtém-se as duas seguintes fórmulas para os radicais duplos:

$\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^{2}-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^{2}-B}}{2}}$

$\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^{2}-B}}{2}}-\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^{2}-B}}{2}}$

Acima está explícita a frase "desde que seja possível realizar tal transformação". A explicação disso reside no fato de, caso o radicando $A^{2}-B$ não seja quadrado perfeito, a transformação do radical duplo numa soma de dois radicais simples não é validada, ao passo que será transformada em outros dois radicais quadráticos duplos. O exercício pede o valor de $\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$, com isso vamos chamar esta expressão de $\alpha$, ou seja: $\alpha = \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$. Sem mais delongas, obteremos:

$\alpha = \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}= \left(\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)^{2}$

$\alpha^{2}=\left(\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)^{2}+2\cdot \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\cdot \sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\\\left(\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)^{2}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}=8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}+8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}+2\sqrt{(8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}) \cdot (8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}})}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}=16+2\sqrt{8^{2}-2^{2}(10+2\sqrt{5}})\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}=16+2\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}=16+2\sqrt{24-8\sqrt{5}}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}-16=2\sqrt{24-8\sqrt{5}}\ \ \ \Rightarrow$

$\frac{\alpha^{2}-16}{2}=\sqrt{24-8\sqrt{5}}\ \ \ \Rightarrow$

$\frac{\alpha^{2}-16}{2}=\sqrt{4(6-2\sqrt{5})}=2\sqrt{6-2\sqrt{5}}\ \ \ \Rightarrow$

$\frac{\alpha^{2}-16}{4}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}\ \ \ \ \ \ (i)$

De $(i)$ temos:

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{6+\sqrt{6^{2}-2^{2} \cdot 5}}{2}}-\sqrt{\frac{6-\sqrt{6^{2}-2^{2} \cdot 5}}{2}}\ \ \ \Rightarrow$

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{6+4}{2}}-\sqrt{\frac{6-4}{2}}\ \ \ \Rightarrow$

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1\ \ \ \ \ \ (ii)$

Substituindo $(ii)$ em $(i)$, obteremos o seguinte resultado:

$\frac{\alpha^{2}-16}{4}=\sqrt{5}-1\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}-16=4 \cdot (\sqrt{5} -1)=4\sqrt{5}-4\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}-16+4=4\sqrt{5}-4+4\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}=12+4\sqrt{5}=(10+2)+4\sqrt{5}=10+2+2\sqrt{10 \cdot 2}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}=\left(\sqrt{10}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2}=\left(\sqrt{10}\right)^{2}+2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\left)^{2}\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha^{2}=\left(\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)^{2}\ \ \ e\ \ \ \ \alpha >0\ \ \ \Rightarrow$

$\alpha =\sqrt{10}+\sqrt{2}$

Portanto, o valor de $\alpha$ é $\sqrt{10}+\sqrt{2}$. Ou seja:

$\alpha = \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\sqrt{10}+\sqrt{2}$.

Obs.: O radical duplo $\sqrt{12+4\sqrt{5}}$ também poderia ter sido transformado em $\sqrt{10}+\sqrt{2}$ por meio de uma das duas fórmulas listadas no início desta resolução.

Abraços!