Question

Determine o valor de α para que o vetor u = (-1, α, -7) seja combinação linear dos vetores u1= (1,-3,2) e u2= (2,4,-1).

Answer 1

Determinar o valor de α para que o vetor $\overset{\to}{\mathbf{u}}=(-1,\,\alpha,\,-7)$ seja combinação linear dos vetores  $\overset{\to}{\mathbf{u}}_1=(1,\,-3,\,2)$  e  $\overset{\to}{\mathbf{u}}_2=(2,\,4,\,-1).$


Logo, devem existir escalares λ₁, λ₂ ∈ ℝ tais que

     $\overset{\to}{\mathbf{u}}=\lambda_1\overset{\to}{\mathbf{u}}_1+\lambda_2\overset{\to}{\mathbf{u}}_2\\\\ (-1,\,\alpha,\,-7)=\lambda_1(1,\,-3,\,2)+\lambda_2(2,\,4,\,-1)\\\\ (-1,\,\alpha,\,-7)=(\lambda_1,\,-3\lambda_1,\,2\lambda_1)+(2\lambda_2,\,4\lambda_2,\,-\lambda_2)\\\\ (-1,\,\alpha,\,-7)=(\lambda_1+2\lambda_2,\;-3\lambda_1+4\lambda_2,\;2\lambda_1-\lambda_2)$


Dois vetores são iguais apenas se as coordenadas correspondentes forem iguais entre si. Logo, obtemos o seguinte sistema:

     $\left\{\!\begin{array}{ccrc}\lambda_1+2\lambda_2&\!\!=\!\!&-1&\qquad\mathsf{(i)}\\\\-3\lambda_1+4\lambda_2&\!\!=\!\!&\alpha&\qquad\mathsf{(ii)}\\\\ 2\lambda_1-\lambda_2&\!\!=\!\!&-7&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array}\right.$


Pelas equações (i) e (iii), podemos obter os valores para λ₁ e λ₂:

     $\left\{\!\begin{array}{ccrc}\lambda_1+2\lambda_2&\!\!=\!\!&-1&\qquad\mathsf{(i)}\\\\ 2\lambda_1-\lambda_2&\!\!=\!\!&-7&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array}\right.$


Multiplique por 2 ambos os lados da equação (iii). Depois some as duas equações membro a membro:

     $\left\{\!\begin{array}{ccr}\lambda_1+2\lambda_2&\!\!=\!\!&-1\\\\ 4\lambda_1-2\lambda_2&\!\!=\!\!&-14 \end{array}\right.\\\\\\\\ (\lambda_1+\,\diagup\!\!\!\!\!\!2\lambda_2)+(4\lambda_1-\,\diagup\!\!\!\!\!\!2\lambda_2)=-1-14\\\\ \lambda_1+4\lambda_1=-15\\\\ 5\lambda_1=-15\\\\ \lambda_1=\dfrac{-15}{5}$

     $\lambda_1=-3$        ✔


Substitua na equação (i) o valor de $\lambda_1$ encontrado acima:

     $\lambda_1+2\lambda_2=-1\\\\ (-3)+2\lambda_2=-1\\\\ 2\lambda_2=-1+3\\\\ 2\lambda_2=2\\\\ \lambda_2=\dfrac{2}{2}$

     $\lambda_2=1$        ✔


Substitua na equação (ii) os valores de λ₁ e λ₂ para obter o valor de α:

     $-3\lambda_1+4\lambda_2=\alpha\\\\ -3\cdot (-3)+4\cdot 1=\alpha\\\\ 9+4=\alpha$

     $\alpha=13\quad\longleftarrow\quad\mathsf{esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)