Question

Determine o valor de "p" real na função f(x)= (p²-1)x² +2(p - 1) + 1 para f(x)>0, qualquer x real.

Answer 1

Olá, 2 condições tem que ser atendidas para satisfazer essa igualdade:

(p² - 1) > 0
Δ < 0

se o (p² - 1) > 0 a concavidade é para cima, portanto 'y' vai ter valores positivos.
Δ < 0, isso garante que minha parábola não interceptará as abcissas, e x terá valor igual ou menor que 0

(p² - 1) > 0 ⇒ p² > 1 ⇒ p > 1 ou p < -1

Δ < 0 ⇒ b² -4ac < 0  ⇒ 0² - 4(p² - 1)[2(p - 1) + 1] < 0 ⇒ $-8p^{3} + p^{2} + 2p - 4$ < 0  resolvedo essa equação cubica, vc chegará nesse valor: p > 1 ou -1 < p <1/2

no final apenas fazemos as intersecções entre a 1º e 2º restrição:
(p² - 1) > 0
Δ < 0, respectivamente:

infelizmente não tem como eu mostrar as figuras das intersecções, mas se vc fizem no pepel vera que a intersecção ocorre quando p > 1. Então: V = {p E R/ p >  1}