Question

Determine o valor de p para que a equação x² +2px + 16 = 0, tenha raízes reais iguais.

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos determinar o valor de $p$ de modo que a equação $x^2+2px+16=0$ tenha raízes reais iguais.

Para isso, recorremos ao discriminante delta.

Dada uma equação quadrática completa $ax^2+bx+c=0$, tal que $a\neq0$, seu discriminante delta é calculado por: $\Delta=b^2-4ac$.

Ao calcularmos este discriminante, existem três situações possíveis que nos revela qual o comportamento das raízes da equação:

• Se $\Delta>0$, a equação apresenta duas raízes reais distintas.
• Se $\Delta=0$, a equação apresenta duas raízes reais iguais.
• Se $\Delta<0$, a equação apresenta duas raízes complexas conjugadas.

Visto que buscamos o valor de $p$ de modo que a equação apresente duas raízes reais iguais, utilizamos a segunda propriedade.

Veja que na equação $x^2+2px+16=0$, temos os coeficientes $a=1,~b=2p$ e $c=16$. Substituindo estes coeficientes na fórmula do discriminante delta, teremos:

$\Delta=(2p)^2-4\cdot1\cdot16$

Calcule a potência e multipliquem os valores

$\Delta=4p^2-64$

Então, iguale o discriminante delta a zero

$4p^2-64=0$

Some $64$ em ambos os lados da equação

$4p^2=64$

Divida ambos os lados da equação por $4$

$p^2=16$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$p=\pm~\sqrt{16}$

Sabendo que $16=4^2$, separe as soluções e calcule a raiz

$p=-4~~~\mathsf{ou} ~~~p=4$

Estes são os valores de $p$ que satisfazem esta condição.