Question

Determine o valor de n na igualdade :
1+2+3+ ...+ n  = 1
(n+1)!                 240  

Obs : O numero do 1º menbro é a soma dos n termos de uma PA.

Answer 1

Veja que o numerador do primeiro membro é a Soma dos n primeiros números naturais.
Esta soma é:
$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} \\ \\ \boxed{S_n=\frac{n(1+1+n-1)}{2}=\frac{(n+1)n}{2}}$

Agora aplicando-se a propriedade fundamental das proporções:
$240.\frac{(n+1)n}{2}=(n+1)! \\ 120.(n+1).n=(n+1).n(n-1)! \\ 120=(n-1)!$

Sabe-se que 5!=120
Logo (n-1)!=5!
           n-1=5
           n=6