Question

Determine o valor de n:

(n+2)! + (n+1)! = 15n!

Answer 1

$(n+2)!+(n+1)!=15n!\\\\(n+2)\cdot(n+1)\cdot n!+(n+1)\cdot n!=15n!$

Colocando n!(n + 1) em evidência no lado esquerdo:

$n!\cdot(n+1)\cdot[(n+2)+1]=15\cdot n!\\\\n!\cdot(n+1)\cdot(n+3)=15\cdot n!$

Cancelando n!:

$(n+1)\cdot(n+3)=15\\\\n^{2}+3n+n+3=15\\\\n^{2}+4n+3-15=0\\\\n^{2}+4n-12=0$

Vamos resolver essa equação por soma e produto:

$soma=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{4}{1}=-4\\\\\\produto=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{12}{1}=-12$

As raízes são dois números cuja soma é -4 e o produto é -12

Com isso, encontramos os dois valores possíveis para n:

$n'=-6\\n''=2$

Como o fatorial de um número é definido, a priori, apenas para números inteiros e não-negativos, descartamos n = - 6 como solução. Logo:

$\boxed{\boxed{n=2}}$