Question

Determine o valor de máximo ou minimo de cada função dada e escreva o seu conjunto imagem.
A) F (x)= x2- 5x+1
B) G (x)= 2×2+3x+7
C) H(x)=x2-2x-8
D) N(x)=-3x2+8

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Answer 1

Resposta:

a) Mínimo em $y= -\dfrac{21}{4}$ e imagem $Im(g) = \left[-\dfrac{21}{4}, \infty \right)$

b) Mínimo em $y= \dfrac{47}{8}$ e imagem $Im(g) = \left[\dfrac{47}{8}, \infty \right)$

c) Mínimo em $y=-9$ e imagem $Im(g) = \left[-9. \infty \right)$

d) Máximo em $y=8$ e imagem $Im(g) = \left(-\infty,8 \right]$

Explicação passo-a-passo:

Para descobrirmos a coordenada y do vértice (futuramente o valor de máximo ou de mínimo) destas funções quadráticas tenha em mente a seguinte fórmula:

$y_v = -\dfrac{\Delta}{4a}$  na qual $\Delta = b^2-4\cdot a \cdot c$

E que se a quadrática tiver concavidade voltada para cima (a>0) então terá ponto de mínimo, caso contrário terá ponto de máximo.

Letra a)

$\Delta = (-5)^2-4\cdot1\cdot1 = 25 - 4 = 21$

$y_v = -\dfrac{21}{4}$, como a>0, este é o ponto de mínimo.

Já a sua Imagem é então:

$Im(g) = \left[-\dfrac{21}{4}, \infty \right)$

Letra b)

$\Delta = 3^2-4\cdot2\cdot7 = -47$

$y_v = -\dfrac{-47}{4\cdot2} = \dfrac{47}{8}$, como a>0, este é o ponto de mínimo.

Já a sua Imagem é então:

$Im(g) = \left[\dfrac{47}{8}, \infty \right)$

Letra c)

$\Delta = (-2)^2-4\cdot1\cdot -8 = 36$

$y_v = -\dfrac{36}{4} = -9$, como a>0, este é o ponto de mínimo.

Já a sua Imagem é então:

$Im(g) = \left[-9. \infty \right)$

Letra d)

$\Delta = 0^2 - 4\cdot-3\cdot 8 = 96$

$y_v = -\dfrac{96}{-12} = 8$, como a<0, este é o ponto de máximo.

Já a sua Imagem é então:

$Im(g) = \left(-\infty,8 \right]$

Answer 2

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Valor máximo ou valor mínimo de uma função quadrática

$\boxed{\begin{array}{l}\sf se~f(x)=ax^2+bx+c\\\sf o~m\acute aximo~ou~m\acute inimo~ocorre~no~y_V\\\sf onde~y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}~sendo~\Delta=b^2-4ac.\\\sf se~a>0\longrightarrow apresenta~m\acute inimo\\\sf se~a<0\longrightarrow apresenta~m\acute aximo\\\sf o~conjunto~imagem~\acute e~y\leq y_V~se~a<0\\\sf y\geq y_V~se~a>0\end{array}}$

$\tt a)~\sf f(x)=x^2-5x+1\\\sf\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot1\\\sf\Delta=25-4\\\sf\Delta=21\\\sf a=1>0\longrightarrow admite~m\acute inimo\\\sf y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}\\\sf y_V=-\dfrac{21}{4\cdot1}=-\dfrac{21}{4}\\\sf Imf(x)=\bigg\{y\in\mathbb{R}/y\geq-\dfrac{21}{4}\bigg\}$

$\tt b)~\sf g(x)=-2x^2+3x+7\\\sf a=-2<0\longrightarrow admite~m\acute aximo\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=3^2-4\cdot(-2)\cdot7\\\sf\Delta=9+56\\\sf\Delta=65\\\sf y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}\\\sf y_V=-\dfrac{65}{4\cdot(-2)}=\dfrac{65}{8}\longrightarrow valor~m\acute aximo\\\sf Imf(x)=\bigg\{ y\in\mathbb{R}/y\leq\dfrac{65}{8}\bigg\}$

$\tt c)~\sf h(x)=x^2-2x-8\\\sf a=1>0\longrightarrow admite~m\acute inimo\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)\\\sf\Delta=4+32\\\sf\Delta=36\\\sf y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}\\\sf y_V=-\dfrac{36}{4\cdot1}=-\dfrac{36}{4}=-9\\\sf Imf(x)=\bigg\{y\in\mathbb{R}/y\geq-9\bigg\}$

$\tt d)~\sf n(x)=-3x^2+8\\\sf a=-3<0\longrightarrow admite~m\acute aximo\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=0^2-4\cdot(-3)\cdot8\\\sf\Delta=0+96\\\sf\Delta=96\\\sf y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}\\\sf y_V=-\dfrac{96}{4\cdot(-3)}=\dfrac{96}{12}=8\\\sf Imf(x)=\bigg\{y\in\mathbb{R}/y\leq8\bigg\}$