Question

Determine o valor de m : $\frac{\left(m+4\right)!}{\left(m+2\right)!\:}=20$

Answer 1

Olá, tudo bem? A fim de resolver essa equação fatorial, vamos expandir o numerador até o termo (m+2)!; então, vamos simplificá-lo com o denominador, também (m+2)! e, dessa forma, chegaremos a uma equação (já sem os fatoriais) em função de "m". A partir daí, basta resolvermos essa equação; assim:

$\dfrac{(m+4)\cdot(m+3)\cdot(m+2)!}{(m+2)!}=20\to\\\\\\\text{simplificando ``(m+2)!'',\,\,teremos:}\\\\\underbrace{(m+4)\cdot(m+3)}_{\text{...desenvolvendo...}}=20\to\\\\\\m^2+7m+12=\underbrace{20}_{\leftarrow}\to\\\\\\m^2+7m+12-20=0\to\\\\m^2+7m-8=0\to\,\,Bhaskara\,\,\to$

$m=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\\\\\\m=\dfrac{-7\pm\sqrt{7^2-4\times 1\times(-8)}}{2\times 1}\to\\\\\\m=\dfrac{-7\pm\sqrt{49+32}}{2}\to m=\dfrac{-7\pm9}{2}\to\\\\\\m_{1}=\dfrac{-7-9}{2}\to\boxed{m_{1}=-8}\,\,\text{(*)}\\\\\text{ou}\\\\m_{2}=\dfrac{-7+9}{2}\to\boxed{m_{2}=1}\checkmark$

(*) Da definição de fatorial, retiramos a seguinte parte: "...fatorial de um número inteiro m não negativo, é indicado por m!...". Observe que fatoriais somente existem para valores INTEIROS e NÃO NEGATIVOS, por isso, o resultado de m=-8 não será considerado, sendo válido apenas o valor de m=1, sendo essa a resposta final.

É isso!! :)