Question

determine o valor de m tal que Z = 2m +i/3+no sei um número real a) m=2,b)m=-2 c)m=0 d) m=+- raiz de 3 e) m=+- raiz de 6/ 2
Obrigada pela ajuda que estam me dando. Pois estou cheia de trabalho e não estou dando conta de todos.

Answer 1

$z=\dfrac{2m+i}{3+mi}$

Multiplicando o numerador e o denominador por $3-mi$ (que é o conjugado de $3+mi$):

$z=\dfrac{(2m+i)(3-mi)}{(3+mi)(3-mi)}\\\\\\z=\dfrac{2m\times3-2m\times mi+i\times3-i\times mi}{3^{2}-(mi)^{2}}\\\\\\z=\dfrac{6m-2m^{2}i+3i-mi^{2}}{9-m^{2}i^{2}}\\\\\\z=\dfrac{6m-2m^{2}i+3i-m\times(-1)}{9-m^{2}\times(-1)}\\\\\\z=\dfrac{6m+3i-2m^{2}i+m}{9+m^{2}}\\\\\\z=\dfrac{7m+(3-2m^{2})i}{9+m^{2}}\\\\\\z=\bigg(\dfrac{7m}{9+m^{2}}\bigg)+\bigg(\dfrac{3-2m^{2}}{9+m^{2}}\bigg)i$

Ou seja, as partes real e imaginária de $z$ são:

$Re(z)=\dfrac{7m}{9+m^{2}},\,\,Im(z)=\dfrac{3-2m^{2}}{9+m^{2}}$

Para $z$ ser um número real, deve-se ter $Im(z)=0$:

$Im(z)=0~~\Longleftrightarrow\\\\\\\dfrac{3-2m^{2}}{9+m^{2}}=0\\\\\\\dfrac{3-2m^{2}}{9+m^{2}}\cdot(9+m^{2})=0\cdot(9+m^{2})=0$

Como $9+m^{2}\neq0$ pois $9+m^{2}\ge9~\textgreater~0$ (já que $m\in\mathbb{R}$), podemos cancelar $9+m^{2}$. Daí,ficamos com

$3-2m^{2}=0\\\\2m^{2}=3\\\\m^{2}=\dfrac{3}{2}\\\\\\\sqrt{m^{2}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\\\|m|=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\\\\|m|=\dfrac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\\\\\\|m|=\dfrac{\sqrt{3\cdot2}}{2}\\\\\\|m|=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

Logo, para $z$ ser um número real, devemos ter

$\boxed{\boxed{m=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{~2}}}$