Question

Determine o valor de m pertence R, de modo que a equação x²+(m-1)x+m-4=0 tenha raízes de sinais contrários, sendo negativa a de maior valor absoluto

Answer 1

Explicação passo a passo:

Dada a equação $\displaystyle \mathtt{ax^2 + bx + c = 0, \ a \neq 0}$ de raízes reais $\displaystyle \mathtt{x_1}$ e $\displaystyle \mathtt{x_2}$. Posto isto, suas raízes terão sinais contrários quando $\displaystyle \mathtt{c < 0}$. Daí,

$\\ \displaystyle \mathtt{c < 0} \\\\ \mathtt{m - 4 < 0} \\\\ \boxed{\mathtt{m < 4}}$

Por outro lado, devemos considerar a raiz "negativa a de maior valor absoluto". Matematicamente, isto pode ser feito considerando o ponto médio das raízes como sendo menor que zero. Noutras palavras, basta notar que o ponto de mínimo fica à esquerda do eixo Oy. Com efeito,

$\\ \displaystyle \mathtt{\frac{x_1 + x_2}{2} < 0} \\\\ \mathtt{\frac{\frac{- b}{a}}{2} < 0} \\\\ \mathtt{\frac{\frac{- m + 1}{1}}{2} < 0} \\\\ \mathtt{- m + 1 < 0} \\\\ \mathtt{- m < - 1} \\\\ \boxed{\mathtt{m > 1}}$

Por fim, a resposta procurada é dada pela intersecção dos dois intervalos obtidos... Veja:

_____(+ 1)_________________

______________(+ 4)________

_____(+ 1)______(+ 4)_________

Logo, $\boxed{\boxed{\mathtt{S = \left \{ m \in \mathbb{R} / 1 < m < 4 \right \}}}}$.