Question

Determine o valor de m para que y(x) = e^mx seja solução da equação diferencial:

y '' −5y '+6y = 0

Answer 1

segue o resultado em que eu fiz

Answer 2

Resposta:

m=2 ou m=3

Explicação passo-a-passo:

$y(x) = e^{mx}$

$y'(x) = me^{mx}$

$y''=m^2e^{mx}$

Substituindo esses resultados na equação:

$y''(x)-5y'(x)+6y(x)=0\implies m^2e^{mx}-5me^{mx}+6e^{mx}=0\implies (m^2-5m+6)e^{mx} = 0$

Como a função exponencial $e^{mx}$ é diferente de zero para todo $x\in \mathbb{R}$, temos que o termo $m^2-5m+6$ deve ser zero. Logo, restringimos o problema a encontrar soluções da seguinte equação de segundo grau da forma $a^2+bx+c=0$:

$m^2-5m+6=0$

$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2-4\times 1\times 6 = 25-24 = 1$

$m = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{2\times 1} = \frac{5\pm 1}{2}$

Temos duas soluções:

$m_1 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2}=3$

$m_2 = \frac{5-1}{2} = \frac{4}{2}=2$