Question

Determine o valor de m para que o sistema de equações seguintes seja determinado. depois disso, com o valor obtido para m, encontre duas possíveis soluções reais, isto é, determine dois conjuntos de valores de A, B e C que verifiquem simultaneamente as 3 equações.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{m=5~\left|~(0,~-1,~1)~\left|~\left(\dfrac{1}{3},~0,~\dfrac{1}{3}\right)}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Observe que o enunciado da questão na imagem nos pede o valor de $m$ tal que o sistema de equações seja indeterminado. Para isso, devemos relembrar algumas propriedades.

Seja uma matriz formada pelos coeficientes das equações, a partir de seu determinante, podemos realizar a análise da existência de soluções do sistema. Temos três casos:

• Quando o determinante é diferente de zero, o sistema é possível e determinado.

• Quando o determinante é igual a zero, o sistema pode assumir dois casos diferentes:

1. Possível e indeterminado: Existem infinitas soluções. Geralmente a última linha da matriz ampliada é composta inteiramente de zeros.
2. Impossível: Não existem soluções. Geralmente a última linha é composta de zeros com exceção do último elemento, que é uma constante diferente de zero. Como o produto de um número por zero não pode ser diferente de zero, assumimos que o sistema não apresenta soluções.

Logo, devemos encontrar $m$ de forma que o determinante a seguir:

$\begin{vmatrix}1&1&2\\1&-1&-1\\m&-1&1\\\end{vmatrix}=0$

Para resolvermos este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz e calcularmos a diferença entre a soma do produto dos elementos das diagonais principais e a soma do produto dos elementos das diagonais secundárias. Teremos:

$\left|\begin{matrix}1 & 1 &2 \\ 1&-1 &-1 \\ m& -1 & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1 &1 \\ 1 & -1\\ m &-1 \end{matrix}\right.=0$

Dessa forma, ficaremos com:

$1\cdot(-1)\cdot1+1\cdot(-1)\cdot m+2\cdot1\cdot(-1)-(1\cdot1\cdot1+1\cdot(-1)\cdot(-1)+2\cdot(-1)\cdot m)=0$

Multiplique e some os valores

$-1-m-2-(1+1-2m)=0\\\\\\ -3-m-2+2m=0\\\\\\ m-5=0$

Some 5 em ambos os lados da equação

$m=5$

Este é o valor que $m$ assume que torna o sistema possível e indeterminado.

Agora, devemos encontrar dois conjuntos de valores para as incógnitas $a,~b~e~c$ que verifiquem simultaneamente as três equações.

Então, seja $a=0$, ficaremos com o sistema:

$\begin{cases}b+2c=1\\-b-c=0\\-b+c=2\\\end{cases}$

Some a terceira equação a primeira

$b+2c-b+c=1+2$

Somando os termos, temos

$3c=3$

Dividindo ambos os lados por 3, temos

$c=1$

Substituindo este valor em qualquer uma das equações, temos

$b+2c=1\\\\\\ b+2\cdot1=1\\\\\\ b+2=1$

Subtraia 2 em ambos os lados da equação

$b=-1$

Logo, o primeiro conjunto que verifica as equações é $(0,~-1,~1)$.

O segundo conjunto será encontrado ao assumirmos $b=0$.

Ficaremos com o sistema de equações:

$\begin{cases}a+2c=1\\a-c=0\\5a+c=2\\\end{cases}$

Ao somarmos a segunda e a terceira equações, temos

$a-c+5a+c=0+2$

Some os termos

$6a=2$

Divida ambos os lados da equação por 6

$a=\dfrac{1}{3}$

Substituindo este valor em qualquer uma das equações, temos que

$\dfrac{1}{3}-c=0\\\\\\ c=\dfrac{1}{3}$

O segundo conjunto que verifica as equações é $\left(\dfrac{1}{3},~0,~\dfrac{1}{3}\right)$.