Question

Determine o valor de m, para que a equação x¹+³ - 3x³ + 6x² + mx + 8= 0 tenha como uma de suas raizes 2i e o conjunto solução.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Lorena, que a resolução desta questão também é simples.

Pede-se para determinar o valor de "m" e depois encontrar o conjunto-solução da seguinte expressão, sabendo-se que uma de suas raízes é "2i":

x⁴ - 3x³ + 6x² + mx + 8 = 0

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se uma raiz é complexa e igual a "2i", então o conjugado de "2i" também será raiz. Assim "-2i"  também será raiz da expressão dada. Note que "-2i" é o conjugado de "2i".

Agora veja: se "2i" e "-2i" são raízes da expressão dada, então essa expressão será divisível pelo produto delas duas, ou seja:

(x-2i)*(x-(-2i)) = (x-2i)*(x+2i) = x²-4i² ---- como i² = -1, teremos:

x² - 4i² = x² - 4*(-1) = x² + 4.

ii) Como vimos, o produto (x-2i)*(x+2i) deu igual a "x²-4".
Assim, dividiremos a expressão dada por "x²+4" e deveremos obter resto zero, pois, como você já viu na sua outra mensagem sobre este mesmo assunto, toda expressão é divisível por suas raízes ou pelo produto delas. E se é divisível então deixa resto zero.
Então vamos fazer a divisão:


x⁴ - 3x³ + 6x² + mx + 8 |_x²+4_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . x² - 3x + 2 <--- quociente
-x⁴. . . .-4x²
---------------------------
0 - 3x³ + 2x² + mx + 8
..+3x³..........+12x
------------------------------
.....0 + 2x² + mx+12x + 8
........- 2x²................ - 8
---------------------------------
...........0 + mx + 12x ...0 <---- Resto.

Agora veja que ficamos com o resto igual a "mx+12x". Ora, como sabemos que a divisão deixará resto "0", então é a soma de "mx+12x" deverá ser igual a zero. Assim:

mx + 12x = 0 ---- vamos colocar "x" em evidência, ficando:
x*(m + 12) = 0 ---- veja que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0
ou
m+12 = 0 ---> m = - 12  <--- Este deverá ser o valor de "m".

Assim, quanto ao valor de "m" teremos que:

m = - 12 <---- Esta é a resposta quanto ao valor de "m".

iii) Agora vamos ao conjunto-solução da expressão dada.
Apenas para que possamos ver qual seria a expressão completa, iremos lá e substituiremos "m" por "-12" e teremos a expressão completa já com m = - 12.
Veja que a expressão é esta:

x⁴ - 3x³ + 6x² + mx + 8 = 0 ----- substituindo-se "m" por "-12", teremos:

x⁴ - 3x³ + 6x² + (-12)*x + 8 = 0 --- ou apenas:

x⁴ - 3x³ + 6x² - 12x + 8 = 0 <--- Esta é a expressão completa, já com o valor de "m".

Agora vamos encontrar quais são as demais raízes, pois já sabemos que duas delas são complexas e que são: "-2i" e "2i".
Para encontrar as demais raízes (para que possamos dar o conjunto-solução da expressão dada), iremos no quociente encontrado na divisão acima e o igualaremos a zero para encontrar as demais raízes. O quociente encontrado é este:

x² - 3x + 2 ---- igualando-o a zero para encontrar as demais raízes, teremos:
x² - 3x + 2 = 0 ---- se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes;

x' = 1
x'' = 2.

iv) Assim, o conjunto-solução {x'; x''; x'''; x''''} será este (colocando as raízes em ordem crescente):

S = {1; 2; -2i; 2i} <--- Esta é a resposta quanto ao conjunto-solução.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.