Question

Determine o valor de m na função real f(x) = -3x2 + 2(m-1)x + (m + 1) para que o valor máximo seja 2.

Answer 1

Resposta:

Duas Respostas possíveis ou m= 2 ou m= -1

Explicação passo a passo:

f(x) = -3x2 + 2(m-1)x + (m + 1)

Reorganizando:

f(x) = -3x2 + (2m-2)x + (m+1)

logo,

a = -3

b = 2m - 2

c = m+1

2 = Máximo ou y do vertice

Como:

Máximo da parábola ou coordenada y do vértice = - delta/4a

(I)               2 = - ( (2m-2)^2 - ( -12m - 12)) / 4*(-3)

(II)             2 = - (-4m^2 - 8m + 4 + 12m + 12) / (-12)

(III)                       - 24 = - (4m^2 + 4m + 16)

(IV)                            - 4m^2 - 4m + 8 = 0

tirando as raízes da equação do item (IV) :

teremos ou  (4 + 12) / (-8) = -2

ou (4 - 12) / (-8) = 1

OBS.: no item (I) foi usado (b^2 - 4*a*c) como delta sendo ((2m-2)^2 - 4*(-3)*(m+1))    

Espero ter ajudado ;)

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores para o parâmetro "m" de modo que o valor máximo da função polinomial  do segundo grau "f(x) = -3x² + 2(m - 1)x + (m + 1)" venha se igual a "2", pertencem ao conjunto solução:

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-2,\,1\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

      $\Large\begin{cases} f(x) = -3x^{2} + 2(m - 1)x + (m + 1)\\y_{M} = 2\end{cases}$

Sendo os coeficientes da função do segundo grau:

                 $\Large\begin{cases} a = -3\\b = 2\cdot(m - 1) = 2m - 2\\c = m + 1\end{cases}$

Para calcular o valor máximo da função do segundo grau devemos utilizar a seguinte fórmula:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{M} = -\frac{\Delta}{4a}\end{gathered}$

Então, fazemos:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{M} = 2\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} -\frac{\Delta}{4a} = 2\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} -\frac{(b^{2} - 4ac)}{4a} = 2\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} -\frac{\left[(2m - 2)^{2} - 4\cdot(-3)\cdot(m + 1)\right]}{4\cdot(-3)} = 2\end{gathered} }$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} -\frac{\left[4m^{2} - 8m + 4 + 12m + 12\right]}{-12} = 2\end{gathered} }$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} - \left[4m^{2} + 4m + 16\right] = -12\cdot2\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} -4m^{2} - 4m - 16 = -24\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} -4m^{2} - 4m - 16 + 24 = 0\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} (\div\:4) -4m^{2} - 4m + 8 = 0\:\:(\div \:4)\end{gathered}$

                                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} -m^{2} - m + 2 = 0\end{gathered}$

Prosseguindo na resolução da equação obtida, temos:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} m = \frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot2}}{2\cdot(-1)}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{1\pm\sqrt{1 + 8}}{-2}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{1\pm\sqrt{9}}{-2}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{1\pm3}{-2}\end{gathered}$

Obtendo as raízes, temos:

          $\LARGE\begin{cases} m' = \frac{1 + 3}{-2} = -\frac{4}{2} = -2\\m'' = \frac{1 - 3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\end{cases}$

Portanto, os possíveis valores de "m" que verifica o valor máximo da função igual a "2" pertencem ao seguinte conjunto solução:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-2,\,1\}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Prova:\:\:\:}}}\end{gathered} }$

• Para m = - 2, temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = -3x^{2} + 2\cdot(-2 - 1)\cdot x + (-2 + 1)\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = -3x^{2} - 6x - 1\end{gathered}$

       Neste caso, o valor máximo é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y_{M} = -\frac{\left[(-6)^{2} - 4\cdot(-3)\cdot(-1)\right]}{4\cdot(-3)}\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -\frac{\left[36 - 12\right]}{-12}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-24}{-12}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\end{gathered}$

       Portanto:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{M} = 2\end{gathered}$

• Para m = 1, temos:        

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = -3x^{2} + 2\cdot(1 - 1)\cdot x + (1 + 1)\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = -3x^{2} + 2\end{gathered}$

       Neste caso, o valor máximo é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y_{M} = -\frac{\left[0^{2} - 4\cdot(-3)\cdot2\right]}{4\cdot(-3)}\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -\frac{\left[0 + 24\right]}{-12}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-24}{-12}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\end{gathered}$        

 

       Portanto:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{M} = 2\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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