Question

Determine o valor de m, m ∈ R, de modo que o valor mínimo da função f(x)=x²+mx-m-6 seja -9

Answer 1

Resposta:

m = 2 ou  m = - 6.

Explicação passo-a-passo:

$f(x) = x^2 +mx -m-6$  

 $\left\{\begin{array}{lll}a=1\\b=m\\c=-m-6\end{array}\right$

O valor mínimo da função acontece em

$y_v = \frac{- \bigtriangleup}{4a}$ , onde $\bigtriangleup = b^2 - 4ac$

$\bigtriangleup = m^2 - 4\cdot 1 \cdot (-m-6)\\\\\bigtriangleup = m^2 + 4m + 24$

Então:

$y_v = \frac{- \bigtriangleup}{4a} = \frac{-(m^2+4m +24)}{4\cdot 1} = -9\\\\\frac{-m^2-4m - 24}{4} = - 9\\\\- m^2 -4m - 24 = -9 \cdot 4\\\\- m^2 - 4m - 24 = -36\\\\\ - m^2 - 4m - 24 + 36 = 0\\\\- m^2 - 4m + 12 = 0$

Multiplicando essa última equação por - 1, temos:

$m^2 + 4m - 12 = 0$

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos:

$\left\{\begin{array}{lll}a=1\\b=4\\c=- 12\end{array}\right$

$\bigtriangleup = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) \\\bigtriangleup = 16 + 48 \\\bigtriangleup = 64$

$m = \frac{-4 \pm \sqrt{64} }{2\cdot 1} = \frac{-4 \pm 8 }{2}\\\\m_{1} = \frac{-4+8}{2} = \frac{4}{2} = 2\\\\m_{2} = \frac{-4-8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Então, os possíveis valores de m são:

$m_{1} = 2$    ou    $m_{2} = - 6$