Question

Determine o valor de L para que a seguinte função seja continua
f(x) = {x + 2L se x >= -1
{ L^2 se x < -1
No ponto x = -1

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{L=1~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Seja a função $f$ definida por partes:

$f(x)=\begin{cases}\mathsf{x+2L,~se~x\geq-1}\\\mathsf{L^2,~se~x<-1}\\\end{cases}$

Devemos determinar o valor de $\mathsf{L}$ de forma que $f(x)$ seja contínua em $x=-1$.

Neste caso, lembre-se que existem três critérios para que uma função seja contínua em $x=x_0$:

• O limite da função quando $x\rightarrow x_0$ existe.
• Os limites laterais da função quando $x\rightarrow x_0$ são iguais.
• O limite da função quando $x\rightarrow x_0$ é igual ao valor da função neste ponto: $\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}~f(x)=f(x_0)$.

Neste caso, utilizamos a segunda propriedade: seus limites laterais devem ser iguais.

$\underset{x\rightarrow-1^-}{\lim} f(x)=\underset{x\rightarrow-1^+}{\lim} f(x)$

Então, veja como a função está definida para valores à esquerda e à direita de $x=-1$.

Para valores à esquerda, ou seja, menores que $-1$, $f(x)=\mathsf{L^2}$.

Para valores à direita, ou seja, maiores que $-1$, $f(x)=\mathsf{x+2L}$.

Dessa forma, temos

$\underset{x\rightarrow-1^-}{\lim}~\mathsf{L^2}=\underset{x\rightarrow-1^+}{\lim} ~\mathsf{x+2L}$

Então, sabendo que $\mathsf{L}$ é uma constante, lembre-se que:

• O limite de uma constante é igual a própria constante.
• O limite de uma soma de funções é igual a soma dos limites das funções.
• Uma função polinomial é contínua em $\mathbb{R}$, logo utiliza-se a terceira propriedade.

Aplique a regra da soma

$\underset{x\rightarrow-1^-}{\lim}\mathsf{L^2}=\underset{x\rightarrow-1^+}{\lim}~\mathsf{x}+\underset{x\rightarrow-1^+}{\lim}~\mathsf{2L}$

Calcule o limite da função polinomial e das constantes

$\mathsf{L^2=-1+2L}$

Some $\mathsf{1-2L}$ em ambos os lados da equação, de forma a igualá-la a zero

$\mathsf{L^2-2L+1=0}$

Fatore o trinômio quadrado perfeito

$\mathsf{(L-1)^2=0}$

Retire a raiz em ambos os lados da equação

$\mathsf{L-1=0}$

Some $1$ em ambos os lados da equação

$\mathsf{L=1}$

Este é o valor de $\mathsf{L}$ que torna esta função contínua em $x=-1$.