Question

Determine o valor de K para que os pontos (0, - 1), (1, 2) e (3, k) sejam colineares.

Answer 1

Para saber se os pontos estão alinhados, temos que montar uma matriz (3x3) com as coordenadas dos três pontos, após isso devemos realizar o cálculo do DETERMINANTE dessa matriz, o resultado do mesmo deve ser igual a "0", caso contrário, não estarão alinhados.

A estrutura dessa matriz é dada por:

$\begin{bmatrix} \sf \: xa& \sf \: ya& \sf1\\ \sf \: xb& \sf \:yb& \sf1 \\ \sf xc& \sf \: yc& \sf1\end{bmatrix} = \sf 0$

Como eu havia dito, ela é composta pela coordenada dos três pontos, sabemos que uma coordenada possui o valor para a abscissa e ordenada:

Coordenada(abscissa, ordenada)

Isso é justamente a representação dos elementos Xa, Ya...., tendo conhecimento disso, vamos organizar esses valores para facilitar a substituição no DETERMINANTE.

$\begin{cases} \sf A (0, - 1) \rightarrow xa = 0 \: \: \: ya = - 1\\ \sf B(1, 2) \rightarrow xb = 1 \: \: \: yb = 2 \\ \sf C(3, k) \rightarrow xc = 3 \: \: \: yc = k\end{cases}$

Agora vamos substituir e calcular o DETERMINANTE, para isso você escolhe o método que for mais conveniente para você, no meu caso usarei o método de Sarrus.

$\begin{bmatrix} \sf \: 0& \sf \: - 1& \sf1\\ \sf \: 1& \sf \:2& \sf1 \\ \sf 3& \sf \: k& \sf1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix} \sf \: 0& \sf \: - 1\\ \sf \: 1& \sf \:2 \\ \sf 3& \sf \: k\end{bmatrix} = \sf 0 \\ \\ \sf 0.2.1 + ( - 1).1.3 + 1.1.k - (3.2.1 + k.1.0 + 1.1.( - 1)) = 0 \\ \sf 0 - 3 + k - (6 + 0 - 1) = 0 \\ \sf - 3 + k - (5) = 0 \\\sf - 3 + k - 5 = 0 \\ \sf k= 5 + 3 \\ \boxed{ \sf k = 8}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️