Question

Determine o valor de K para que o produto das raízes da equação x^2 - x - 5 + k = 0 seja igual a 10.

Answer 1

x²-x-5+k = 0

Vamos assumir que a equação tem 2 raízes, já que o enunciado fala raízes no plural rs.

Delta = 1-4(k-5) = 1 - 4k + 20 = 21-4k

x = 1+-√(21-4k)/2. As raízes serão da forma (1+√(21-4k))/2 e (1-√(21-4k))/2. Mas sabemos que seu produto deve ser 10, logo:

(1+√(21-4k))/2 * (1-√(21-4k))/2 = 10

(1+√(21-4k)(1-√(21-4k)/4 = 10  Observe que temos uma diferença de quadrados (a²-b²)=(a+b)(a-b), só substituir a = 1 e b = √(21-4k). Então:

1² - (√(21-4k))² = 10*4

1 - (21 - 4k) = 40

1 + 4k - 21 = 40

4k - 20 = 40

4k = 60

k = 15