Question

determine o valor de k para que o gráfico da função quadrática f(x)=(k+2)x²+2x-k intercepte o eixo das abscissas em um único ponto

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Milkasilva, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o valor de "k" para que o gráfico da função abaixo intercepte o eixo das abscissas (eixo dos "x") em um único ponto.

f(x) = (k+2)x² + 2x - k

Agora note isto e não esqueça mais: quando o gráfico de uma função quadrática intercepta o eixo dos "x" em apenas um ponto, isto significa que a parábola tangencia o eixo dos "x", equivalendo dizer que a função tem apenas uma raiz real (ou seja terá duas raízes reais, mas ambas iguais).
E, para que uma equação do 2º grau tenha apenas uma raiz real (ou duas raízes reais mas ambas iguais) o seu delta deverá ser igual a zero.
E note que o delta (b²-4ac) da função da sua questão é este: "2² - 4*(k+2)*(-k)". Então vamos impor que esse delta seja igual a zero. Assim, impondo isso, teremos:

2² - 4*(k+2)*(-k) = 0 ----- como a ordem dos fatores não altera o produto, então vamos colocar o (-k) para junto ao "4", ficando assim:

4  - 4*(-k)*(k+2) = 0  ---- como, na multiplicação, menos com menos dá mais, ficaremos assim:

4 + 4k*(k+2) = 0 ------ efetuando o produto indicado, teremos;
4 + 4k² + 8k = 0 ----- ordenando, ficaremos:
4k² + 8k + 4 = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "4", com o que ficaremos apenas com:

k² + 2k + 1 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

k' = k'' = - 1

Assim, para que a equação dada tenha uma única raiz real (ou duas raízes reais mas ambas iguais), então "k" deverá ser igual a "-1", ou seja:

k = - 1 <--- Esta é a resposta. Este deverá ser o valor de "k" para que a equação dada tenha uma única raiz real.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.