Question

Determine o valor de k para que a equação x²+ 5kx+25=0 em que x tenha uma única raiz real

Answer 1

Se x tem uma única raiz real Δ = 0
 
b² - 4ac = 0
(5k)² - 4.1.25 = 0
25k² - 100 = 0  

Achamos a equação de k e iremos dividir ela por 25 para simplificar:

25k² - 100 = 0   / (25)
k² - 4 = 0
k² = 4
k' = 2
k'' = -2

Achamos os valores de k, agora substitui na equação principal.

se k=2:
x² + 5kx + 25 = 0
x² + 5.2.x + 25 = 0
x² + 10x + 25 = 0

Irei achar as raízes da equação acima por soma e produto:

x² + 10x + 25 = 0

Soma
-b/a = -10/1 = -10
Produto 
c/a = 25/1 = 25

Raizes: 

(-5) + (-5) = -10
(-5).(-5)= 25

Logo as raiz é -5

Agora se x= -2

x²  - 10x + 25 = 0

Soma 
-b/a = 10/1 = 10
Produto
c/a = 25/1 = 25

Raízes:

5 + 5 = 10
5.5 = 25

Logo a raiz é 5.

Resultado da questão:

Como as duas equações com valores de k diferente tem raiz única, o valor de k pode ser -2 e 2.

S=(-2,2)