Determine o valor de k para que a equação 2x²+4x+5k=0 tenha raízes reais e distintas
Soluções para a tarefa
Bom dia, Duda! Segue a resposta com algumas observações.
(I)Informação prévia: qualquer equação do segundo grau apresentará raízes reais e distintas se o discriminante for maior que zero. Em linguagem matemática, Δ > 0.
(II)Considerando-se a condição acima, passa-se à resolução:
Determinação dos coeficientes da equação do segundo grau, por meio da comparação entre a equação fornecida e a forma genérica:
2x² + 4x + 5k = 0
ax² + bx + c = 0
Coeficientes: a = 2, b = 4, c = 5k (a incógnita k faz parte do termo independente que, originalmente, não possui incógnita)
-Cálculo do discriminante:
Δ > 0
Δ = b² - 4 . a . c =>
b² - 4 . a . c > 0 =>
4² - 4 . (2) . 5k > 0 =>
16 - 8 . 5k > 0 =>
16 - 40k > 0 (Passa-se o termo -40k ao segundo membro da inequação, alterando-se o sinal.)
16 > 40k =>
16/40 > k (Simplificação: podem-se dividir numerador e denominador no primeiro membro por 8.)
16(:8)/40(:8) > k =>
2/5 > k =>
0,4 > k (Leituras possíveis: se 0,4 é maior que k, então k será menor que 0,4. Assim, dependendo do sentido da leitura que se fizer, o sinal de desigualdade poderá mudar.)
k < 0,4
Resposta: S={k E R / k < 0,4}. (Entenda: qualquer valor menor que 0,4 satisfará a inequação e fará com que a equação do segundo grau tenha raízes reais e distintas.)
DEMONSTRAÇÃO (VERIFICAÇÃO) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
-Substituindo k por um valor qualquer menor que 0,4, verifica-se que a inequação é verdadeira:
Para k = 0
b² - 4 . a . c > 0 => 4² - 4 . 2 . 5 . (0) > 0 => 16 - 0 > 0 => 16 > 0 (Verdadeiro)
Para k = -2
b² - 4 . a . c > 0 => 4² - 4 . 2 . 5 . (-2) > 0 => 16 - 40 . (-2) > 0 => 16 + 80 > 0 =>
96 > 0 (Verdadeiro)
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!
A= 2
B= 4
C= 5k
Uma equação do 2º grau possui duas raízes reais e distintas quando ∆ > 0.
∆= b² - 4ac
b² - 4ac > 0
4² - 4 • 2 • 5k > 0
16 - 8 • 5k > 0
16 - 40k > 0
- 40k > 0 - 16
- 40k > - 16 (-1)
40k < 16
k < 16/40 (÷8)
k < 2/5