Question

Determine o valor de k, para que a distância entre a reta 3x + 4y - k = 0 e o ponto P(4, -5) seja 2

Answer 1

Para calcular a distância entre o ponto e reta, temos a seguinte fórmula:

$\boxed{ \boxed{ \sf d = \frac{ |ax_o + by_o + c| }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } } }}$

Os termos a, b e c são os coeficientes da equação geral da reta que a questão fornece, ou seja, 3x + 4y - k = 0, vamos identificar os coeficientes que são os números que se encontram a frente das letras com exceção do "c" que é o termo independente.

$\star \: \sf 3x + 4y - k = 0 \\ \: \star \begin{cases} \sf a = 3 \\ \sf b = 4 \\ \sf c = 5 \end{cases}$

Já os elementos "x" e "y" são a representação dos valores da abcissa e ordenada do ponto P, do mesmo jeito que fizemos anteriormente, vamos identificar os valores.

$\star \: \sf P(4, -5) \rightarrow x_o = 4 \: \: \: \: y_o = - 5 \: \star$

Tendo organizado os valores, vamos substituir na fórmula:

$\sf d = \frac{ |ax_o + by_o + c| }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2}}} \\ \\ \sf d = \frac{ |3.4 + 4.( - 5) + k| }{ \sqrt{3 {}^{2} + 4 {}^{2} } }$

A distância "d" a questão diz que é "2", então vamos substituir também:

$\sf 2 = \frac{ | 12 - 20 + k | }{ \sqrt{9 + 16}} \\ \\ \sf 2 = \frac{ | - 8 + k | }{ \sqrt{25} } \\ \\ \sf 2 = \frac{ | - 8 + k| }{5} \\ \\ \sf 5.2 = | - 8 + k| \\ \\ \sf 10 = | - 8 + k|$

Agora devemos usar a propriedade de módulo que diz:

$\boxed{ \sf |A| = B \: \: ou \: \: |A|= -B}$

Aplicando:

$\sf i) - 8 + k = 10 \\ \sf k = 10 + 8 \\ \boxed{\sf k = 18} \\ \\ \sf ii) - 8 + k = - 10 \\ \sf k = - 10 + 8 \\ \boxed{ \sf k = - 2}$

RESPOSTA: letra a)

Espero ter ajudado