Question

Determine o valor de k para os pontos A(k,7) b(2,-3) e c (k,1)

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" para que os referidos pontos sejam vértices de um triângulo é:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k \ne 2\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

           $\Large\begin{cases} A = (k, 7)\\ B = (2, -3)\\ C = (k, 1)\end{cases}$

Para que estes pontos sejam vértices de um triângulo é necessário que os referidos pontos não sejam colineares. Para isso, devemos afirmar que o determinante da matriz formada pelas coordenadas do pontos seja diferente de "0", ou seja:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \det M \ne0\end{gathered}$

Se:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}M = \begin{bmatrix}k & 7 & 1\\ 2 & -3 & 1\\ k & 1 & 1\end{bmatrix} \end{gathered}$

Então, temos:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \begin{vmatrix}k & 7 & 1\\ 2 & -3 & 1\\ k & 1 & 1\end{vmatrix}\begin{matrix}k & 7\\ 2 & -3\\ k & 1\end{matrix} \ne 0\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} k\cdot(-3)\cdot1 + 7\cdot1\cdot k + 1\cdot2\cdot1 - 7\cdot2\cdot1 - k\cdot1\cdot1 - 1\cdot(-3)\cdot k\ne 0\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} -3k + 7k + 2 - 14 -k + 3k \ne 0\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 7k - k - 12\ne 0\end{gathered}$

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 7k - k \ne 12\end{gathered}$

                                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6k \ne 12\end{gathered}$

                                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} k \ne \frac{12}{6} \end{gathered}$

                                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} k \ne 2\end{gathered}$

Portanto, o valor de "k" é:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} k \ne 2\end{gathered}$

✅ De fato, se:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} k \ne 2\Longrightarrow Tri\hat{a}ngulo\end{gathered}$

• Fazendo k = 3, temos os seguinte vértices do triângulo:

                $\Large\begin{cases}A' = (3, 7)\\ B' = (2, -3)\\ C' = (3, 1)\end{cases}$  

                   

✅ E se:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = 2\Longrightarrow Segmento\:de\:reta\:\overline{AB}\end{gathered}$

   Então, temos os seguinte pontos colineares:

                  $\Large\begin{cases}A = (2, 7)\\ B = (2, -3)\\ C = (2, 1)\end{cases}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/51162395

Solução gráfica: