Question

determine o valor de K para equação x² -(k+1)x + (10+k) =0 tenha una raiz igual o dobro da outra

Answer 1

Vou identificar os coeficientes dessa equação primeiro:

a = 1
b = -(k + 1) = - k - 1
c = 10 + k

Em toda equação de 2º grau, essas duas igualdades são válidas:

$\displaystyle x'+x''=\frac{-b}{a}=-(-k-1)=k+1$

$\displaystyle x'x''=\frac{c}{a}=10+k$

A questão diz que uma das raízes deve ser igual ao dobro da outra. Então vou dizer que

x'' = 2x'

Portanto,

$\displaystyle 3x'=k+1 \text{ (I)}$

$\displaystyle 2x'^2=10+k \text{ (II)}$

Agora eu vou isolar o x' em (I) e logo depois substituí-lo em (II):

$\displaystyle x'=\frac{k+1}{3}$

$\displaystyle 2\left(\frac{k+1}{3}\right)^2=10+k$

$\displaystyle \frac{2 \cdot (k^2+2k+1)}{9}=10+k$

$\displaystyle 2k^2+4k+2=90+9k$

$\displaystyle 2k^2-5k-88=0$

O resultado é uma nova equação de 2º grau. Para resolvê-la, vou usar Bhaskara:

∆ = (-5) - 4 · 2 · (-88) = 25 + 704 = 729

$\displaystyle k=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

k' = (5 + 27)/2 = 32/2 = 16

k'' = (5 - 27)/2 = -22/2 = -11

Sendo assim, os valores de k que satisfazem o problema são 16 e -11.