Question

determine o valor de K na equação x²-(k-3)x-25=0, para que as raizes sejam opostas. Em seguida, calcule o valor das raízes indicando o conjunto solução.​

Answer 1

k = 3 para que as raízes tenham valores opostos.

Conjunto solução: S = {−5, 5}

• Uma forma de solucionar a equação do segundo grau x² − (k − 3)x − 25 = 0, é usando as Relações de Girard; um método de determinar as raízes da equação através da soma e produto das raízes. Considere:

S: soma das raízes da equação (x₁ + x₂).

P: produto das raízes da equação (x₁ ⋅ x₂).

a, b e c: coeficientes da equação ax² + bx + c = 0

• a: coeficiente de x².
• b: coeficiente de x.
• c: termo independente de x.

• As relações de Girard são:

$\large \sf S = -\dfrac{b}{a}$

$\large \sf P = \dfrac{c}{a}$  (não será usada)

• Para que as raízes da equação tenham valores opostos (exemplo: x₁ = 5 e x₂ = −5) então a soma das raízes deve ser zero, pois no exemplo, 5 + (− 5) = 0.

• Determine os coeficientes a, b e c da equação x² − (k − 3)x − 25 = 0 comparando com ax² + bx + c = 0.

x² − (k − 3)x − 25 = 0

ax² + bx + c = 0

a = 1

b = −(k − 3)

c = −25 (não será usado)

• Determine o valor de k para S = 0.

$\large \sf Se \ S = 0, ent\~ao: \quad -\dfrac{b}{a} = 0$  ⟹ Substitua os valores de a e b.

$\large \sf -\dfrac{-(k-3)}{1} = 0$  ⟹ Observe que (−) ⋅ (−) = (+).

k − 3 = 0

k = 3

As raízes terão valores opostos se k = 3.

• Calcule as raízes da equação.

x² − (k − 3)x − 25 = 0 ⟹ Substitua o valor de k.

x² − (3 − 3)x − 25 = 0 ⟹ Execute dentro do parênteses.

x² − 0x − 25 = 0 ⟹ Observe que −0x = 0

x² − 25 = 0 ⟹ Some 25 em ambos os membros.

x² = 25 ⟹ Extraia a raiz quadrada de ambos os membros.

x = ± 5

x₁ = −5 e x₂ = 5 ⟹ Escreva o conjunto solução.

S  = {−5, 5}

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