Question

Determine o valor de k na equação x²-12x+k=0, de modo que uma raiz seja o dobro da outra

Answer 1

Quando utiliza-se a fórmula de Bháskara, você nota que existe aquele "mais ou menos". Isso significa que uma das raízes você calcula usando o sinal de mais, e a outra raiz com o sinal de menos.

Raízes:

x' =  (-b+√(b²-4ac)) / (2a)
x'' = (-b-√(b²-4ac)) / (2a)

A raiz que carrega o "sinal de mais" é maior que a raiz que carrega o "sinal de menos''. Portanto x' = 2.x''

Vou deixar anexado minhas contas que fiz no GeoGebra. Qualquer dúvida é só me perguntar.

Answer 2

Resposta:

k=32

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, devemos ter em mente a fórmula geral para as equações de segundo grau, conforme a função abaixo:

$ax^2+bx+c=0$

Desse modo, podemos concluir que na equação fornecida os valores de a, b e c são, respectivamente, 1, -12 e k.

Com isso, podemos determinar as raízes da equação. Para isso, devemos utilizar a fórmula de Bhaskara, que segue abaixo:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Substituindo os coeficientes retirados da equação do enunciado, obtemos a seguinte equação:

$x=\frac{12\pm \sqrt{144-4k}}{2}$

Agora, note que uma raiz é o dobro da outra. Desse modo, podemos igualar o valor acima a outro valor igual ao seu dobro. Nesse caso, o maior valor terá o sinal positivo da raiz.

$\frac{12+\sqrt{144-4k}}{2}=2\times \frac{12-\sqrt{144-4k}}{2}\\ \\ 12+\sqrt{144-4k}=24-2\sqrt{144-4k}\\ \\ 3\sqrt{144-4k}=12\\ \\ \sqrt{144-4k}=4$

Por fim, elevamos ambos os lados ao quadrado e obtemos:

$(\sqrt{144-4k})^2=4^2\\ \\ 144-4k=16\\ \\ 4k=128\\ \\ \boxed{k=32}$

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