determine o valor de k na equaçao x²-12x+k=0, de modo que uma raiz seja o dobro da outra:
a) 12
b)18
c)24
d)28
e)32
Soluções para a tarefa
x² -12.x +k = 0
Vamos chamar de a o termo que multiplica o x², de b o que multiplica o x e de c o termo independente, então:
a = 1, b = -12, c = k
Podemos encontrar o valor da soma da soma e do produto das raízes pelas seguintes fórmulas:
Com os valores de a e b já conseguimos descobrir a soma das raízes:
Como queremos que uma das raízes seja o dobro da outra, então vamos chamar uma das raízes de x e a outra de 2.x, e como sua soma tem que ser igual a 12, então:
x +2.x = 12
3.x = 12
x = 4
Então podemos concluir que o conjunto solução dessa equação é o seguinte:
S = { 4, 8}
Agora sabemos que o produto das raízes é 32, então podemos descobrir o valor de k:
Dúvidas só perguntar!
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" de modo que uma das raízes da referida equação do segundo grau - equação quadrática - seja o dobro da outra é:
Portanto, a opção correta é:
Seja a equação do segundo grau:
Cujos coeficientes são:
Sabemos que toda equação do segundo grau sempre terá duas raízes. Além disso, sabemos - a partir do enunciado - que uma das raízes é o dobro da outra. Então:
Sabemos pelas relações de Girard que a soma e o produto das raízes podem ser escritas das seguintes formas:
Substituindo x' pelo seu valor temos:
Substituindo os valores dos coeficientes no último sistema, temos:
Isolando x' na equação "I", temos:
Substituindo o valor de x'' na equação "II", temos:
✅ Portanto, o valor do parâmetro "k" é:
Então:
Portanto, o conjunto solução da referida equação é:
Confirmando a solução em termos da soma e produto, temos:
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