Question

Determine o valor de k na equação x^2 - 12x + k = 0 de modo que uma raiz seja o dobro da outra.

Answer 1

Olá!!



A soma das raízes da equação é dada por:   -b/a




O que nós queremos é: X1+X2 = X+2X   ( uma o dobro da outra)



-b/a = X+2X

-(-12)/1 = X+2X

12 = 3X

X = 12/3

X = 4

X1 = 4
X2 = 8



O produto é dado por: c/a



C/A = X1.X2 

K/1 = 4.8

K = 32        <<< Resposta 

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" de modo que uma das raízes da referida equação do segundo grau - equação quadrática - seja o dobro da outra é:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = 32\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação do segundo grau:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 12x + k = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                       $\Large\begin{cases} a = 1\\b = -12\\c = k\end{cases}$

Sabemos que toda equação do segundo grau sempre terá duas raízes. Além disso, sabemos - a partir do enunciado - que uma das raízes é o dobro da outra. Então:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = 2x'\end{gathered}$

Sabemos pelas relações de Girard que a soma e o produto das raízes podem ser escritas das seguintes formas:

                  $\LARGE\begin{cases} x' + x'' = -\frac{b}{a}\\x'\cdot x'' = \frac{c}{a}\end{cases}$

Substituindo x' pelo seu valor temos:

  $\LARGE\begin{cases} x' + 2x' = -\frac{b}{a}\\x'\cdot 2x' = \frac{c}{a}\end{cases}\Longrightarrow \LARGE\begin{cases} 3x' = -\frac{b}{a}\\2x'^{\,2} = \frac{c}{a}\end{cases}$

Substituindo os valores dos coeficientes no último sistema, temos:

   $\LARGE\begin{cases}3x' = -\frac{(-12)}{1}\\ 2x'^{\,2} = \frac{k}{1}\end{cases}\Longrightarrow \LARGE\begin{cases}3x' = 12\:\:\:\:\:\:\bf I\\2x'^{\,2} = k\:\:\:\:\:\bf II \end{cases}$

Isolando x' na equação "I", temos:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x' = 12\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = \frac{12}{3}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = 4\end{gathered}$

Substituindo o valor de x'' na equação "II", temos:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x'^{\,2} = k\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot4^{2} = k\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot 16 = k\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 32 = k\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = 32\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor do parâmetro "k" é:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = 32\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Prova:\:\:\:}}}\end{gathered} }$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:\:x' = 4\end{gathered}$

Então:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = 2x'\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = 2\cdot4\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = 8\end{gathered}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{4, \,8\}\end{gathered}$

Confirmando a solução em termos da soma e produto, temos:

                       $\LARGE\begin{cases} x' + x'' = 4 + 8 = 12\\x'\cdot x'' = 4\cdot8 = 32\end{cases}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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