Matemática, perguntado por suelenstrapasspechlf, 7 meses atrás

Determine o valor de K na equação
$x {}^{2} - kx + 36 = 0$
, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra

Soluções para a tarefa

Respondido por Kin07

Resposta:

Sendo x' e x" as raízes da equação:

x' = 4x"

$\sf x^{2} -kx + 36 = 0$

$\sf ax^{2} +bx + c = 0$

a = 1

b = - k

c = 36

Resolução:

Determinar o valor de k, usando um sistema de equação:

Soma:

$\sf x_1 + x_2 = \dfrac{- \,b}{a}$

$\sf 4x_2 + x_2 = \dfrac{- \,(-\,k)}{1}$

$\sf 5x_2 = k$

$\sf x_2 = \dfrac{k}{5}$

Produto:

$\sf x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

$\sf 4x_2 \cdot x_2 = \dfrac{36}{1}$

$\sf 4(x_2)^2 = 36$

$\sf 4 \cdot \left (\dfrac{k}{5} \right)^2 = 36$

$\sf 4 \cdot \dfrac{k^2}{25} = 36$

$\sf 4k^2 = 25 \times 36$

$\sf 4k^2 = 900$

$\sf k^{2} = \dfrac{900}{4}$

$\sf k^{2} = 225$

$\sf k = \pm \; \sqrt{225}$

$\sf k = \pm \; 15$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle k_1 = 15 } \quad \gets$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle k_2 = -\; 15 } \quad \gets$

Portanto, os valores de k são: k = 15 ou k = - 15.

Explicação passo-a-passo:

Anexos:

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores do parâmetro "k" de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = \pm15\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação polinomial do segundo grau - equação quadrática:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - kx + 36 = 0\end{gathered}$}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 1\\b = -k\\c = 36\end{cases}$

Sabemos que toda equação do segundo grau sempre terá duas raízes. Além disso, sabemos a partir do enunciado que uma das raízes é o quádruplo da outra. Então temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x' = 4x''\end{gathered}$}$

Sabendo que - pelas relações de Girard com respeito à soma e ao produto das raízes - temos:

$\LARGE\begin{cases} x' + x'' = -\frac{b}{a}\\x'\cdot x'' = \frac{c}{a}\end{cases}\Longrightarrow \LARGE\begin{cases} 4x'' + x'' = -\frac{b}{a}\\4x''\cdot x'' = \frac{c}{a}\end{cases}$

Então, temos:

$\LARGE\begin{cases} 5x'' = -\frac{b}{a}\\4x''^{\,2} = \frac{c}{a}\end{cases}$

Substituindo os coeficientes no último sistema de equações, temos:

$\LARGE\begin{cases} 5x'' = -\frac{(-k)}{1}\\4x''^{\,2} = \frac{36}{1}\end{cases}\Longrightarrow \LARGE\begin{cases}5x'' = k\:\:\:\:\:\:\:\:\bf I\\ 4x''^{\,2} = 36\:\:\:\:\bf II\end{cases}$