Question

determine o valor de k na equação 5x² 12x+6k+2=0, de modo que uma de suas raizes seja o dobro da outra

Answer 1

Acredito a equação seja:

$5x^2 - 12x+6k+2=0$

Temos que a soma das raízes é dada por:

$S = - \frac{b}{a} \\ \\ x + 2x = - \frac{-12}{5} \\ \\ 3x = \frac{12}{5} \\ \\ x = \frac{12}{15} \\ \\ x = \frac{4}{5}$

E temos que o produto é dado por:

$P = \frac{c}{a} \\ \\ x*2x = \frac{6k + 2}{5} \\ \\ 10x^2= 6k + 2 \\ \\ 10*( \frac{4}{5} )^2 = 6k + 2 \\ \\ 10* \frac{16}{25} = 6k + 2 \\ \\ 2* \frac{16}{5} = 6k + 2 \\ \\ \frac{32}{5} - 2= 6k \\ \\ \frac{22}{5} = 6k \\ \\ k = \frac{22}{30} \\ \\ k = \frac{11}{15}$

Answer 2

Temos uma equação do 2° grau.

5x² - 12x + 6k + 2 = 0

a = 5 / b = - 12 / c = 6k + 2

A soma das raízes é dada por:

S = - b/a

Logo:

x₁ + x₂ = - b/a

x₁ + x₂ = - (-12)/5

x₁ + x₂ = 12/5

Como uma raiz é o dobro da outra, temos:

x₁ = 2x₂

Substituindo na outra equação, temos:

x₁ + x₂ = 12/5

2x₂ + x₂ = 12/5

3x₂ = 12/5

x₂ = 12/15

Simplificando:

x₂ = 4/5

Descobrindo o valor de x₁.

x₁ = 2x₂

x₁= 2(4/5)

x₁= 8/5

O produto das raízes é dado por:

P = c/a

Logo:

x₁.x₂ = c/a

8/5.4/5 = c/5

32/25 = c/5

25c = 160

c = 160/25

c = 32/5

Retomamos o valor de c.

c = 6k + 2

32/5 = 6k + 2

Tirando o m.m.c. do denominador:

32 = 30k + 10

30k = 32 - 10

30k = 22

k = 22/30

k = 11/15

Resposta: k = 11/15.