Question

Determine o valor de k na equação 3x² - 24x + k= 0, de modo que uma raiz seja o triplo da outra:

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" de modo que uma das raízes da referida equação do segundo grau - equação quadrática - seja o dobro da outra é:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = 36\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação do segundo grau:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x^{2} - 24x + k = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                       $\Large\begin{cases} a = 3\\b = -24\\c = k\end{cases}$

Sabemos que toda equação do segundo grau sempre terá duas raízes. Além disso, sabemos - a partir do enunciado - que uma das raízes é o triplo da outra. Então:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = 3x'\end{gathered}$

Sabemos pelas relações de Girard que a soma e o produto das raízes podem ser escritas das seguintes formas:

                  $\LARGE\begin{cases} x' + x'' = -\frac{b}{a}\\x'\cdot x'' = \frac{c}{a}\end{cases}$

Substituindo x' pelo seu valor temos:

 $\LARGE\begin{cases} x' + 3x' = -\frac{b}{a}\\x'\cdot 3x' = \frac{c}{a}\end{cases}\Longrightarrow \LARGE\begin{cases} 4x' = -\frac{b}{a}\\3x'^{\,2} = \frac{c}{a}\end{cases}$

Substituindo os valores dos coeficientes no último sistema, temos:

 $\LARGE\begin{cases}4x' = -\frac{(-24)}{3} \\ 3x'^{\,2} = \frac{k}{3}\end{cases}\Longrightarrow \LARGE\begin{cases}x' = 2\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\bf I\\3x'^{\,2} = \frac{k}{3}\:\:\:\:\:\bf II \end{cases}$

Substituindo o valor de x' na equação "II", temos:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x'^{\,2} = \frac{k}{3}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3\cdot2^{2} = \frac{k}{3}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3\cdot 4 = \frac{k}{3}\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 12 = \frac{k}{3}\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 36 = k\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = 36\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor do parâmetro "k" é:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = 36\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Prova:\:\:\:}}}\end{gathered} }$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:\:x' = 2\end{gathered}$

Então:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = 3x'\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = 3\cdot2\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = 6\end{gathered}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{2, \,6\}\end{gathered}$

Confirmando a solução em termos da soma e produto, temos:

    $\LARGE\begin{cases} 3\cdot(x' + x'') = 3\cdot(2 + 6) = 3\cdot8 = 24\\3\cdot(x'\cdot x'') = 3\cdot(2\cdot6) = 3\cdot12 = 36\end{cases}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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