Question

determine o valor de k na equaçao 2x²-2kx+k=0, de modo que: a) a soma das raizes seja 8 b) o produto das raizes seja 6

Answer 1

Pede-se para determinar o valor de "k" na equação abaixo, para que as raízes da equação sejam simétricas:

2x² - 2kx + k-10 = 0

Veja uma coisa: se as raízes são simétricas, então a sua soma é igual a zero. Veja o por quê:
uma raiz é simétrica a outra quando uma tem um valor e a outra tem o mesmo valor mas com o sinal contrário. Exemplo: 5 e -5 são simétricos. Veja que a soma é zero, pois: 5 +(-5) = 5-5 = 0.

Bem, dito isso, vamos à sua questão.
Vamos chamar as duas raízes de x' e x'' da equação 2x² - 2kx + k-10 = 0.
Você sabe que a soma das raízes é dada pela seguinte fórmula:

x' + x'' = -b/a

No caso da nossa equação aí em cima temos que:

a = 2 ------(é o coeficiente de x²)
b = -2k-----(é o coeficiente de x)
c = k-10 ---(é o termo independente).

Como já temos os coeficientes acima, vamos para a fórmula da soma das raízes:

x' + x'' = -b/a ----- substituindo "b" por (-2k) e "a" por 2 (vide coeficientes acima), temos:

x' + x'' = -(-2k)/2
x' + x'' = 2k/2
x' + x'' = k -----mas veja que a soma das raízes é igual a zero, pois elas são simétricas. Então:

0 = k , ou , invetendo:

k = 0 <---Pronto. Essa é a resposta. Para que as raízes sejam simétricas, "k" deverá ser igual a zero.

Bem, a resposta já está dada. Agora, só por curiosidade, vamos ver se fazendo k = 0 na equação dada, vamos ter, realmente, duas raízes simétricas. Vamos ver isso:

Temos que a equação é esta:

2x² - 2kx + k-10 = 0 --------substituindo "k" por zero, temos:
2x² - 2*0x + 0 - 10 = 0
2x² - 0 + 0 - 10 = 0
2x² - 10 = 0 -----dividindo cada fator por "2", vamos ficar com:
x² - 5 = 0
............_
x = +-V(5) , ou seja:
..........._
x' = -V(5)
..........._
x'' = V(5)

Veja como é verdade: as raízes são realmente simétricas. Uma é -V(5) e a outra é +V(5). E, como tal, se você somá-las vai encontrar zero como resultado.