Question

Determine o valor de K, com K € R(reais), para que a função g(x)=2x²+x+(k+1) tenha valor mínimo igual a 3/4

Answer 1

Como a função é do 2° grau (maior expoente de "x" vale 2), sua representação gráfica será uma parábola. Os coeficientes da função são:

--> a = 2

--> b = 1

--> c = (k+1)

O valor minimo (ou máximo) da função quadrática é dado pelo seu vértice.

O vértice da parábola é o seu ponto máximo, quando o coeficiente "a" é negativo, ou seu ponto mínimo, quando "a" é positivo. Neste caso, como temos "a" positivo, o vértice representa seu ponto mínimo.

Sendo assim, utilizando a coordenada "y" do vértice, podemos achar o valor "k" para que o valor minimo seja igual a 3/4:

$V_y~=~\dfrac{-\Delta}{4a}~~~~~ou~~~~~V_y~=~\dfrac{-(b^2-4.a.c)}{4a}\\\\\\\\Substituindo~os~dados,~temos:\\\\\\\dfrac{3}{4}~=~\dfrac{-(\,1^2-4.2.(k+1)\,)}{4\,.\,2}\\\\\\\\\dfrac{3}{4}~=~\dfrac{-(\,1-8k-8\,)}{8}$

$\dfrac{3~.~8}{4}~=~-(\,1-8k-8\,)\\\\\\\\6~=~-(-8k-7)\\\\\\\\6~=~8k+7\\\\\\\\8k~=~-1\\\\\\\\\boxed{k~=~-\dfrac{1}{8}}$