Question

Determine o valor de integral dupla I de 0 a 1 e I de 0 a 2(2yx + 3yx²) dxdy.​

Answer 1

O valor da integral dupla é 6.

• A integral dupla de uma função f(x, y) contínua, estendida a um domínio D, é igual à integral iterada de segunda ordem dessa função estendida a esse domínio.

$\large \sf {\int \!\! \int } \left \bigg( f(x, y) \right) dx \ dy = \int\limits^1_0 \int\limits^2_0 \left( 2xy+3x^2y \right) dx \ dy$

$\large \sf \int\limits^1_0 \int\limits^2_0 \left( 2xy+3x^2y \right) dx \ dy = \int\limits^1_0 {\left( \int\limits^2_0 \left( 2xy+3x^2y\right)} dx \right)dy$

• Determine a função Φ(y).

$\large \sf \int\limits^2_0 \left( 2xy+3x^2y\right) dx = \left[ \dfrac{2x^2y}{2} + \dfrac{3x^3y}{3} \right] \limits^2_0 = \left[ x^2y + x^3y \right] \limits^2_0 = 4y+8y = 12y$

• Determine a integral de Φ(y).

$\large \sf \int\limits^1_0 \left( 12y \right)dy = \left[ \dfrac{12y^2}{2} \right] \limits^1_0 = \left[ 6y^2 \right] \limits^1_0 = 6$

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