Question

Determine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais:

Answer 1

Denotamos, quando trabalhamos com matrizes, que uma matriz nxm, ou seja, com n linhas e m colunas, que:

$A = [a_{ij}],: \:\:1\leq i\leq n, \: \: 1\leq j \leq m$

Onde aij é o i-ésimo elemento da j-ésima coluna. Ou seja, para uma matriz 2x3 teremos:

$A = [a_{ij}] = \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right]$

E por que isso é útil?

Pois com isso retiramos o caráter de lista da Matriz e adicionamos um caráter numérico a ela, em que podemos utilizar a soma de números reais para definir soma de matrizes. Assim, uma soma de matrizes vira:

$A+B = [a_{ij}]+[b_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]$

A soma [aij]+[bij] não nos diz nada, pois ainda somaremos as matrizes, já a soma [aij+bij] não é uma soma de matrizes, mas a soma de cada um dos elementos das matrizes, que são números reais.

E quando comparamos matrizes, nada mais estamos fazendo que operações com os elementos da mesma, vou mostrar:

Dada A e B matrizes nxm, temos que:

$A=B$

Isso só vai ser verdade se e somente se

$[a_{ij}]=[b_{ij}]$

$[a_{ij}]-[b_{ij}] = [0]$

Onde [0] é a matriz nxm neutra em que todos os termos são iguais a zero.

Assim,

$[a_{ij}-b_{ij}]=[0]$

$Assim, a_{ij}-b_{ij} =0, \:\: 1\leq i\leq n,\:\:1\leq j\leq m$

$\therefore a_{ij}=b_{ij}$

Portanto, cada termo deve ser igual em lugar e número.

Sabendo disso resolveremos o exercício:

a)

$\left[\begin{array}{ccc}3&a&b\\c-1&4&0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}x-2&-5&1\\4&y&z+3\end{array}\right]$

Igualando cada termo teremos:

$a_{11}:\: 3=x-2 \implies x=5$

$a_{12}:\: a=-5$

$a_{13}:\: b=1$

$a_{21}:\: c-1=4 \implies c=5$

$a_{22}:\: 4=y \implies y=4$

$a_{23}:\: 0=z+3 \implies z=-3$

b)

$\left[\begin{array}{ccc}x+y&2x+b\\2x-y&a-b\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}3&-1\\0&7\end{array}\right]$

Igualando os termos:

$a_{11}:\: x+y= 3$

$a_{12}:\: 2x+b=-1$

$a_{21}:\: 2x-y=0$

$a_{22}:\: a-b=7$

Teremos de resolver alguns sistemas lineares, vamos começar achando x e y que aparecem mais vezes:

$x+y=3$

$2x-y=0$

Então 2x=y, substituindo na primeira:

$x+2x=3\implies3x=3\implies x=1$

Encontrando y:

$2x=y \implies y=2$

E agora encontramos b a partir do elemento 12:

$2x+b=-1 \implies 2+b=-1\implies b=-3$

E o valor de a pelo elemento 22:

$a-b=7\implies a+3=7\implies a=4$