Question

Determine o valor de beta para a função fi (x)= x^beta seja solução da equação X^2y''-4xy'+4y=0

Answer 1

Queremos obter uma solução para a equação diferencial homogênea

$x^2y''-4xy'+4y=0$

Uma boa suposição é supor que uma solução particular para a edo é um monômio, pois conforme y perde ordem a cada derivação, cada termo com potência de x recupera a ordem perdida, restando um monômio, cujo coeficientes deve resultar em 0.

Vamos aplicar essa teoria supondo uma possível solução

$y(x)=x^\beta$

$y'(x)=\beta x^{\beta-1}$

$y''(x)=\beta(\beta-1) x^{\beta-2}$

Aplicando y em nossa equação,

$x^2\beta(\beta-1) x^{\beta-2}-4x\beta x^{\beta-1}+4x^{\beta}\equiv 0$

$\beta(\beta-1) x^{\beta}-4\beta x^{\beta}+4x^{\beta}\equiv 0$

$(\beta(\beta-1) -4\beta+4)x^{\beta}\equiv 0$

Perceba que, como previsto, obtemos um monômio, que só vai ser identicamente zero se seu coeficientes for zero, assim,

$\beta(\beta-1) -4\beta+4=0$

$\beta^2-5\beta+4=0$

Resolvendo a equação quadrática obtemos que

$\beta=1 \hspace{0.2cm} ou\hspace{0.2cm} \beta=4$

Como a derivação é linear, se $y_1$ e $y_2$ são soluções para a equação diferencial, $Ay_1+By_2$ também é.

Ou seja, as soluções para a equação diferencial são os polinômios do tipo

$y(x)=Ax^4+Bx$

Com A e B coeficientes reais quaisquer.