Determine o valor de a∈R para que a divisão de f(x)=x^4+2ax^3+(a-2)x^2+5ax-3 por g(x)=x+2 deixe resto igual a - 6
Soluções para a tarefa
O valor de a é 1/2.
Temos os polinômios f(x) = x⁴ + 2ax³ + (a - 2)x² + 5ax - 3 e g(x) = x + 2.
Dividindo x⁴ por x, obtemos x³.
Multiplicando x³ por x + 2, encontramos x⁴ + 2x³.
Logo, x⁴ + 2ax³ + (a - 2)x² + 5ax - 3 - (x⁴ + 2x³) = x³(2a - 2) + (a - 2)x + 5ax - 3.
Dividindo x³(2a - 2) por x, encontramos x²(2a - 2).
Multiplicando x²(2a - 2) por x + 2, obtemos x³(2a - 2) + 2(2a - 2).
Logo, x³(2a - 2) + (a - 2)x + 5ax - 3 - x³(2a - 2) - 2(2a - 2) = x²(-3a + 2) + 5ax - 3.
Dividindo x²(-3a + 2) por x, obtemos x(-3a + 2).
Multiplicando x(-3a + 2) por x + 2, encontramos x²(-3a + 2) + 2(-3a + 2).
Logo, x²(-3a + 2) + 5ax - 3 - x²(-3a + 2) - 2(-3a + 2) = x(11a - 4) - 3.
Dividindo x(11a - 4) por x + 2, obtemos 11a - 4.
Multiplicando 11a - 4 por x + 2, encontramos x(11a - 4) + 2(11a - 4).
Logo, x(11a - 4) - 3 - x(11a - 4) - 2(11a - 4) = -3 - 2(11a - 4).
O resto da divisão dos polinômios f e g é -3 - 2(11a - 4).
Queremos que esse resto seja igual a -6.
Então, igualando o resto a -6, obtemos o valor de a:
-3 - 2(11a - 4) = -6
-2(11a - 4) = -3
22a - 8 = 3
22a = 11
a = 1/2.
Resposta:
a= 1/2
Explicação passo-a-passo:
Ex: Se g(x) for raiz de f(x), então f(x) dividido por g(x) tem como resultado resto 0.
f(raiz)= (raiz)^4 + 2a(raiz)^3 + (a-2)(raiz)^2 + 5a(raiz) - 3 = 0
Resolução: Como a questão pede que o resto seja igual a (-6), então temos.
g(x)=(x+2) => (x+2)=0 => x= (-2) raiz.
f(-2): (-2)^4 + 2a(-2)^3 + (a-2)(-2)^2 + 5a(-2) - 3 = -6
f(-2): -22a + 5 = -6
f(-2): a= 1/2.