Question

Determine o valor de a para que seja 45° o angulo entre os vetores u=(2,1) e v=(1,a).

Answer 1

Para resolver este exercício, deve-se aplicar a fórmula do produto escalar entre dois vetores u e v:
u.v = |u|.|v|. cosθ

u.v = (2,1).(1,a) = (2.1 + 1.a) = 2 + a
|u| = √(2²+1²) = √5
|v| = √(1²+a²) = √(1+a²)
θ = 45°= (√2)/2

2 + a = √5.√(1+a²). (√2)/2
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:
(2 + a)² = [√5.√(1+a²). (√2)/2]²
4 + 4a + a² = [5(1+a²)2]/4
4 + 4a + a² = 10(1+a²)/4
4(4 + 4a + a²) = 10 + 10a²
16 + 16a + 4a² = 10 + 10a²
16 - 10 + 16a + 4a² - 10a² = 0
6 + 16a - 6a² = 0
6a² - 16a - 6 = 0
(6a² - 16a - 6)/2 = 0/2
3a² - 8a - 3 = 0

Para calcular os valores de a, basta resolver a equação de 2° grau:

3a² - 8a - 3 = 0
Δ = (-8)² - 4.3.(-3)
Δ = 64 + 36
Δ = 100

a' = [-(-8)+√100]/6 = (8 + 10)/6 = 18/6 = 3
a'' = [-(-8)-√100]/6 = (8 - 10)/6 = -2/6 = -1/3

Assim, para a = 3 ou a = -1/3, o ângulo entre os vetores u e v é de 45°.

Answer 2

O valor de a pode ser -1/3 ou 3.

Primeiramente, precisamos calcular o produto interno entre os vetores u = (2,1) e v = (1,a).

Dito isso, temos que:

<u,v> = 2.1 + 1.a

<u,v> = 2 + a.

Agora, precisamos calcular a norma dos dois vetores.

Norma do vetor u = (2,1):

||u||² = 2² + 1²

||u||² = 4 + 1

||u||² = 5

||u|| = √5.

Norma do vetor v = (1,a):

||v||² = 1² + a²

||v||² = 1 + a²

||v|| = √(1 + a²).

Queremos que o ângulo entre os dois vetores seja igual a 45º, ou seja:

cos(45) = (2 + a)/√5.√(1 + a²)

√2/2 = (2 + a)/(√5 + 5a²)

√2.√(5 + 5a²) = 2(2 + a)

√10 + 10a² = 4 + 2a

10 + 10a² = (4 + 2a)²

10 + 10a² = 16 + 16a + 4a²

6a² - 16a - 6 = 0.

Para resolver a equação do segundo grau acima, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-16)² - 4.6.(-6)

Δ = 256 + 144

Δ = 400

$a=\frac{16+-\sqrt{400}}{2.6}$

$a=\frac{16+-20}{12}$

$a'=\frac{16+20}{12}=3$

$a''=\frac{16-20}{12}=-\frac{1}{3}$.

Portanto, a pode ser -1/3 ou 3.

Para mais informações sobre vetores: https://brainly.com.br/tarefa/19616088