Question

Determine o valor de "a" para que seja 45° o angulo entre os vetores U = 2i + j e V= i + aj

Answer 1

Dados dois vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}},$ o produto escalar entre estes dois vetores é

$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|\cdot \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|\cdot \cos \theta$


Então,

$\cos \theta=\dfrac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|\cdot \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|}$

onde $\theta$ é o ângulo entre os dois vetores.


$\bullet\;\;$ Encontrando o produto escalar entre $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}},$ temos

$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(2\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}})\cdot (\hat{\mathbf{i}}+a\hat{\mathbf{j}})\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=2\cdot 1+1\cdot a\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=2+a$


$\bullet\;\;$ Encontrando os módulos dos vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}},$ temos

$\|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|=\|(2\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}})\|\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|=\sqrt{4+1}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|=\sqrt{5}\\ \\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\|(\hat{\mathbf{i}}+a\hat{\mathbf{j}})\|\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{1^{2}+a^{2}}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{1+a^{2}}$


Para $\theta=45^{\circ},$ substituindo os valores dos módulos encontrados, temos

$\cos \theta=\dfrac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|\cdot \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|}\\ \\ \\ \cos 45^{\circ}=\dfrac{2+a}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{1+a^{2}}}\\ \\ \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2+a}{\sqrt{5\,(1+a^{2})}}\\ \\ \\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{5\,(1+a^{2})}=2\cdot (2+a)\\ \\ \sqrt{2\cdot 5\,(1+a^{2})}=2\cdot (2+a)\\ \\ \sqrt{10\,(1+a^{2})}=2\cdot (2+a)$


Da última linha acima, tiramos a restrição de que

$2+a\geq 0\;\;\Rightarrow\;\;a\geq -2$

pois o lado direito está igualado à raiz quadrada de um número real, que não pode ser negativa.


Voltando à equação na incógnita $a,$ temos

$\sqrt{10\,(1+a^{2})}=2\cdot (2+a)$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$(\sqrt{10\,(1+a^{2})})^{2}=[2\cdot (2+a)]^{2}\\ \\ 10\,(1+a^{2})=4\cdot (2+a)^{2}\\ \\ 10+10a^{2}=4\cdot (4+4a+a^{2})\\ \\ 10+10a^{2}=16+16a+4a^{2}\\ \\ 10a^{2}-4a^{2}-16a+10-16=0\\ \\ 6a^{2}-16a-6=0\\ \\ 2\cdot (3a^{2}-8a-3)=0\\ \\ 3a^{2}-8a-3=0$


Para facilitar a fatoração do lado esquerdo, reescrevemos o termo $-8a$ como $a-9a:$

$3a^{2}+a-9a-3=0\\ \\ (3a^{2}+a)+(-9a-3)=0\\ \\ a\,(3a+1)-3\,(3a+1)=0\\ \\ (3a+1)\,(a-3)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} 3a+1=0&\;\text{ ou }\;&a-3=0\\ \\ 3a=-1&\;\text{ ou }\;&a=3 \end{array}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} a=-\dfrac{1}{3}&\;\text{ ou }\;&a=3 \end{array}}$