Question

Determine o valor de a para que os pontos A(a+1, 1), B (3,a +1) e C (5, 4 ) pertençam a mesma reta.

Answer 1

 Olá Barcos, boa tarde!

 Considere A e B pertencendo a reta r, esses dois pontos trazem informações suficientes para que sejamos capazes de determinar a equação que contém ambos. 
 
  Inicialmente, devemos encontrar o coeficiente angular que é dado por $\alpha=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$,

$\alpha=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\\alpha=\frac{a+1-1}{3-a-1}\\\\\alpha=\frac{a}{2-a}$
 
 Ora, a equação é dada por $y=\alpha\,x+b$; substituindo um dos pontos (A ou B) na equação,

$y=\alpha\,x+b\\\\a+1=\frac{a}{2-a}\cdot3+b\\\\b=\frac{2a-a^2+2-a-3a}{2-a}\\\\b=\frac{-a^2-2a+2}{2-a}$
 
 Efectuando as devidas substituições,

$y=\alpha\,x+b\\\\y=\frac{a}{2-a}\cdot\,x+\frac{-a^2-2a+2}{2-a}$
 
 Uma vez que, o ponto C pertence à reta;

$y=\frac{a}{2-a}\cdot\,x+\frac{-a^2-2a+2}{2-a}\\\\4=\frac{5a}{2-a}+\frac{-a^2-2a+2}{2-a}\\\\\frac{-a^2+3a+2}{2-a}=4\\\\8-4a=-a^2+3a+2\\\\a^2-7a+6=0\\\\(a-1)(a-6)=0\\\\\boxed{a=1}\\\boxed{a=6}$
 
 Logo, S = {1, 6}.

Answer 2

Por determinante:

.....x......y.......1

(a+1)....1.....…1
....3....(a+1)...1 =0
....5..…..4........1

D=(a+1)²+5+12-[(5a+5)+(4a+4)+4]

a²-7a+6=0......√∆=5

a1=(7+5)/2=12/2=6

a2=(7-5)/2=2/2=1

resposta: a=6 ou 1.

bons estudos!