Question

Determine o valor de a para que os pontos (6, 4), (3, 2) e (a, -2) sejam colineares.

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos determinar o valor de $a$ de modo que os pontos $(6,~4),~(3,~2)$ e $(a,\,-2)$ sejam colineares.

Lembre-se que os pontos genéricos $(x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ são colineares, isto é, existe uma reta que contém os três pontos se e somente vale que:

$\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\\end{vmatrix}=0$

Assim, substituindo as coordenadas dos pontos no determinante, teremos:

$\begin{vmatrix}6&4&1\\3&2&1\\a&-2&1\\\end{vmatrix}=0$

Para calcular este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\begin{vmatrix}6&4&1\\3&2&1\\a&-2&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}6&4\\3&2\\a&-2\\\end{matrix}~=0$

Calcule o determinante

$6\cdot2\cdot1+4\cdot1\cdot a+1\cdot3\cdot(-2)-(4\cdot3\cdot1+6\cdot1\cdot(-2)+1\cdot2\cdot a)=0$

Multiplique e some os termos

$12+4a-6-(12-12+2a)=0\\\\\\ 6+4a-2a=0\\\\\\ 2a+6=0$

Subtraia $6$ em ambos os lados da igualdade

$2a=-6$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2$

$a=-3~~\checkmark$

Este deve ser o valor de $a$ para que os pontos sejam colineares.