Question

determine o valor de a para que o vetor u=( -1 a,- 7) seja combinação linear dos vetores T = (1, - 3,2) e V=(2,4,-1)

Answer 1

Determinar o valor de $a$ para que o vetor $\overset{\to}{\mathbf{u}}=(-1,\,a,\,-7)$ seja combinação linear dos vetores $\overset{\to}{\mathbf{t}}=(1,\,-3,\,2)$ e $\overset{\to}{\mathbf{v}}=(2,\,4,\,-1).$


Logo, devem existir escalares $\lambda_1,\,\lambda_2\in\mathbb{R},$ tais que

     $\overset{\to}{\mathbf{u}}=\lambda_1\overset{\to}{\mathbf{t}}+\lambda_2\overset{\to}{\mathbf{v}}\\\\ (-1,\,a,\,-7)=\lambda_1(1,\,-3,\,2)+\lambda_2(2,\,4,\,-1)\\\\ (-1,\,a,\,-7)=(\lambda_1,\,-3\lambda_1,\,2\lambda_1)+(2\lambda_2,\,4\lambda_2,\,-\lambda_2)\\\\ (-1,\,a,\,-7)=(\lambda_1+2\lambda_2,\;-3\lambda_1+4\lambda_2,\;2\lambda_1-\lambda_2)$


Dois vetores são iguais apenas se as coordenadas correspondentes forem iguais entre si. Logo, obtemos o seguinte sistema:

     $\left\{\!\begin{array}{ccrc}\lambda_1+2\lambda_2&\!\!=\!\!&-1&\qquad\mathsf{(i)}\\\\-3\lambda_1+4\lambda_2&\!\!=\!\!&a&\qquad\mathsf{(ii)}\\\\ 2\lambda_1-\lambda_2&\!\!=\!\!&-7&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array}\right.$


Pelas equações (i) e (iii), podemos obter os valores para $\lambda_1$ e $\lambda_2:$

     $\left\{\!\begin{array}{ccrc}\lambda_1+2\lambda_2&\!\!=\!\!&-1&\qquad\mathsf{(i)}\\\\ 2\lambda_1-\lambda_2&\!\!=\!\!&-7&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array}\right.$


Multiplique por 2 ambos os lados da equação (iii). Depois some as duas equações membro a membro:

     $\left\{\!\begin{array}{ccr}\lambda_1+2\lambda_2&\!\!=\!\!&-1\\\\ 4\lambda_1-2\lambda_2&\!\!=\!\!&-14 \end{array}\right.\\\\\\\\ (\lambda_1+\,\diagup\!\!\!\!\!\!2\lambda_2)+(4\lambda_1-\,\diagup\!\!\!\!\!\!2\lambda_2)=-1-14\\\\ \lambda_1+4\lambda_1=-15\\\\ 5\lambda_1=-15\\\\ \lambda_1=\dfrac{-15}{5}$

     $\lambda_1=-3$        ✔


Substitua na equação (i) o valor de $\lambda_1$ encontrado acima:

     $\lambda_1+2\lambda_2=-1\\\\ (-3)+2\lambda_2=-1\\\\ 2\lambda_2=-1+3\\\\ 2\lambda_2=2\\\\ \lambda_2=\dfrac{2}{2}$

     $\lambda_2=1$        ✔


Substitua na equação (ii) os valores de $\lambda_1$ e $\lambda_2$ para obter o valor de $a:$

     $-3\lambda_1+4\lambda_2=a\\\\ -3\cdot (-3)+4\cdot 1=a\\\\ 9+4=a$

     $a=13\quad\longleftarrow\quad\mathsf{esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

Aap3 - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

Explicação passo-a-passo:

1) E = a = 13

2)B = k = 2/13

3) B - x = y -2z = 0

4) C = -8