Question

Determine o valor de A para que a função f abaixo seja contínua em x = 0.
f(x) = $\left \{ {{(\frac{senx - 1}{x}){^2 cos(\frac{1}{x} }) } \atop {A}} \right.$

Na primeira x é diferende de 0 e na segunda x=0.

Answer 1

A função é

$f(x) = \begin{cases} \exp \left[ \left( \dfrac {\sin x}x -1 \right)^2 \cos \dfrac 1x \,\,\right] & \textrm{ se } x \neq 0 \\[3.5ex]A & \textrm{ se } x = 0\end{cases}$

No caso, exp denota a função exponencial. Ou seja, a expressão entre colchetes acima é o expoente de e. Estou usando essa notação porque ficou muito ruim com a usual devido ao tamanho.

Lembramos que para uma função real f ser contínua no ponto x = a deve valer o seguinte limite:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \, f(x) = f(a)$

Assim, a questão gira em torno de calcular o limite

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \exp \left[ \left( \dfrac {\sin} x -1 \right)^2 \cos \frac 1x \right]$

Além das propriedades usuais e dos limites fundamentais do seno e cosseno

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac {\sin x}x = 0 \qquad \textrm{ e } \qquad \lim_{x \to 0} \, \dfrac {1-\cos x}{x^2} = \dfrac 12$ ( I )

vamos também que se h é uma função contínua no ponto M então

$\displaystyle \lim_{x \to a}\, g(x) =M \implies \lim_{x \to a} \, h(g(x)) = h(M)$

Ou seja, como h(x) = exp(x) = eˣ é uma função contínua vale que

$\displaystyle \lim_{x \to a} \, \exp(g(x)) = \lim_{x \to a} e^{g(x)} = e^{\lim\limits_{x \to a} \, g(x)} = \exp \left( \lim_{x \to a} \, g(x) \right)$   ( II )

Geralmente essa propriedade é conhecida como limite da composta.

Outra coisa que usaremos é que se g é uma função limitada então

$\displaystyle \lim_{x \to a} h(x) = 0 \implies \lim_{x \to a} \,g(x)h(x) = 0$ ( III )

Aplicando ( II ) ao problema, ele se transforma em calcular

$M = \displaystyle \lim_{x \to a} \, \left[ \left( \dfrac {\sin x} x -1 \right)^2 \cos \dfrac 1x \,\,\right]$

Mas pelo limite fundamental ( I ) vale que

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\, \left( \dfrac { \sin x} x - 1 \right)^2 = 0$

Além disso, cos(1/x) é uma função limitada pois -1 ≤ cos(1/x) ≤ 1. Portanto, usando  ( III ) concluímos que M = 0. Portanto, temos

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \exp \left[ \left( \dfrac {\sin} x -1 \right)^2 \cos \frac 1x \right] = \exp(M) = e^0 = 1$

Portanto, para a função f ser contínua em x = 0 deveremos ter f(0) = L = 1. Logo, A = 1.

Resposta:

A = 1