Question

Determine o valor de a e b sabendo que o resto da divisão do polinômio P(x) = x3 + ax + b pelo polinômio Q(x) = x2 + x + 2 é igual a 4.
a = -1 e b = -2
a = 1 e b = 3
a = 2 e b = 3
a = 1 e b = 2
a = 2 e b = 1

Answer 1

Bom dia!
 BOm, para revolver este exercício irei usar o método de Descartes.
  P(x)= x³ + ax + b
Q(x)= x² + x+ 2

α(grau do polinômio)
 
  O polinômio é de Grau três o seu quociente de grau dois . Com isso percebemos que o Grau (α) variou um Grau, logo o D(x) é de primeiro grau, onde denominaremos por D(x)= cx + d.

Usando a relação P(x)=D(x)*Q(x) + R(x) e a igualdade de polinômios:

x³+ax + b= (cx+d)*(x²+x+2)+ 4
x³+ax+b=cx³ + cx² + 2cx + dx² + dx+ 2d+ 4
x³+ax+b=cx³ +x²(c+d)+ x(2c+d)+ 2d+4

Aplicando a igualdade de polinômios; (analise os coeficiente dos termos de mesmo grau)

c=1           c+d=0 --> 1+d=0 ---> d= - 1
 
a= 2c+d
a=2-1
"a=1"

b=2d+4
b=2*(-1)+4
"b=2"

concluindo o D(x) = x-1

e a Resposta a=1 e b = 2