Question

Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25. Se o enunciado informou que a raiz é 1, isso significa que podemos inserir o número 1 no lugar de x e com isso igualar o polinômio a zero, inserindo o ponto (1, 0) na equação.​

Answer 1

Quando x = 1, p = 0:

$p(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 + (b-18) \cdot 1 + 1 = 0$

$1 + 1 \cdot a + b - 18 + 1 = 0$

$a + b = 16$

Agora, quando x = 2, p = 25:

$p(2) = 2^3 + a \cdot 2^2 + (b-18) \cdot 2 + 1 = 25$

$8 + 4 \cdot a + 2 \cdot b - 36 + 1 = 25$

$4 \cdot a + 2 \cdot b= 25-8+35$

$2 \cdot (2 \cdot a + b) = 52$

$2 \cdot a + b = \dfrac{52}{2}$

$2 \cdot a + b = 26$

Temos um sistema linear de duas equações e duas incógnitas:

$\left \{ {{a + b =16} \atop {2 \cdot a + b=26}} \right.$

Pode-se resolver por substituição. Isolando o b na primeira equação:

$b = 16 - a$

Substituindo na segunda equação:

$2 \cdot a + 16 - a = 26$

$a + 16 = 26$

$a = 26 - 16$

$\boxed{a = 10}$

E com isso, encontramos b:

$b = 16 - 10$

$\boxed{b = 6}$