Question

Determine o valor das raízes quadradas não exatas pelo método de fatoração:
a)√120
b)√28
c)√72

Answer 1

Usando o método de fatoração de radicandos de raízes quadradas ( e não só ), obtém-se:

a) 2 √30

b) 2 √7

c) 6 √2

A ação inicial é decompor em fatores primos cada um dos radicandos.

$120~|~2\\060~|~2\\030~|~2\\015~|~3\\005~|~5\\001~~~fim\\~\\120=2^3\cdot 3\cdot5$

$28~|~2\\14~|~2\\07~|~7\\01~~fim\\\\28=2^2\cdot 7$

$72~|~2\\36~|~2\\18~|~2\\09~|~3\\03~|~3\\01~~~fim\\\\\\72~= 2^3\cdot3^2$

Observação 1 → Como temos raízes quadradas, vamos reformular a decomposição em fatores primos, de modo que o expoente do radicando seja igual ao índice do radical.

Observação 2 → Produto de potências com a mesma base

Mantém-se a base a somam-se os expoentes.

Exemplo:

$3^2\cdot3^3\cdot 3^1=3^{(2+3+1)} =3^6$

Mas ... é importante ter presente que quando se tem:

$3^6=3^2\cdot3^3\cdot 3^1$

O que nos vai ajudar em várias situações.

Observação 3 → Elementos de um radical

Exemplo:

$\Large \sqrt[3]{7^2}$

• $7^2~$ → radicando
• 7 → base do radicando
• 2 → expoente do radicando
• 3 → índice do radical

• √ → símbolo de radical

a)

$\sqrt{120}=\sqrt{2^3\cdot3\cdot5}=\sqrt[2]{2^2} \cdot\sqrt{2\cdot3\cdot5} =2\sqrt{30}$

b)

$\sqrt{28}=\sqrt{2^2\cdot 7}=\sqrt[2]{2^2} \cdot \sqrt{7} =2\sqrt{7}$

c)

$\sqrt{72} =\sqrt{2^3\cdot3^2} =\sqrt[2]{2^2} \cdot\sqrt[2]{3^2} \cdot\sqrt{2}=2\cdot 3 \cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

Observação 4 → Índices de radicais, "escondidos"

Quando temos uma raiz quadrada, logo de índice 2,tendo ao mesmo tempo o radicando elevado a 2. o resultado final deste cálculo é apenas a base do radicando.

Exemplo:

$\sqrt{2^2} =\sqrt[2]{2^2} =2$

$\sqrt[11]{3^{11} } =3$

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Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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$(\cdot)$  multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.