Question

Determine o valor da soma 18+19+20+...+72

Answer 1

Os números a serem somados formam a seguinte sequência

(18, 19, 20, ... , 72)

que é uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é $a_1=18,$ e a razão é $r=1.$


A fórmula do termo geral desta P.A. é dada por

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r\\\\ a_n=18+(n-1)\cdot 1\\\\ a_n=18+n-1\\\\ \boxed{\begin{array}{c}a_n=17+n \end{array}}~~~~~~\text{onde }n=1,\,2,\,3,\,\ldots,\,N$


sendo $N$ (maiúsculo) o número de termos desta P.A.

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• Sabendo que o último termo é

$a_{_N}=72,$

vamos calcular o número de termos da P.A.

$a_{_N}=17+N\\\\ 72=17+N\\\\ N=72-17\\\\ N=55\text{ termos}$

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A soma dos termos desta P.A. é dada pela fórmula

$S_{_N}=\dfrac{(a_1+a_{_N})\cdot N}{2}\\\\\\ S_{_N}=\dfrac{(18+72)\cdot 55}{2}\\\\\\ S_{_N}=\dfrac{90\cdot 55}{2}\\\\\\ S_{_N}=45\cdot 55\\\\ \boxed{\begin{array}{c}S_{_N}=2\,475 \end{array}}$


Portanto,

$\boxed{\begin{array}{c}18+19+20+\ldots+72=2\,475 \end{array}}$


Bons estudos! :-)