Question

Determine o valor da potência que é dissipada pelo resistor de 6 Ω utilizando tanto

a análise nodal quanto a análise de malha.​

Answer 1

Vamos considerar a massa do circuito no nó da parte "inferior" do circuito, como mostrado no desenho anexado à resolução.

Análise Nodal

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Correntes, teremos que o somatório das correntes que entram em um nó é igual ao somatório das  correntes que saem deste nó.

Nó A:

$\sf \dfrac{V_A-12}{4}~+~\dfrac{V_A}{6}~+~i_x~=~0\\\\\\Multiplicando~a~equacao~por~12:\\\\\\3V_A~-~36~+~2V_A~+~12i_x~=~0\\\\\\\boxed{\sf 5V_A+12i_x~=~36}$

Nó B:

$\sf \\ i_x~=~\dfrac{V_B}{2}\\\\\\Multiplicando~a~equacao~por~2\\\\\\\boxed{\sf 2i_x~=~V_B}$

Somando a equação para o nó A com a equação para o nó B multiplicada por (-6):

$\sf (5V_A+12i_x)~-~6\cdot (2i_x)~=~36~-~6\cdot V_B\\\\\\5V_A~=~36-6V_B\\\\\\\boxed{\sf V_B~=~6-\dfrac{5}{6}V_A}$

Sabemos também que a ddp entre os nós A e B vale 10V, ou seja:

$\sf V_A-V_B~=~10~V\\\\\\\boxed{\sf V_B~=~V_A-10}$

Igualando as duas expressões do potencial VB:

$\sf 6-\dfrac{5}{6}V_A~=~V_A-10\\\\\\\dfrac{11}{6}V_A~=~6+10\\\\\\V_A~=~16\cdot \dfrac{6}{11}\\\\\\\boxed{\sf V_A~=~\dfrac{96}{11}~V}$

Com isso, temos então que o resistor de 6Ω está sob uma ddp de (96/11)V.

Vamos agora calcular a potência dissipada:

$\sf P_{6\Omega}~=~\dfrac{\Delta V^2}{R}\\\\\\P_{6\Omega}~=~\dfrac{\left(\dfrac{96}{11}\right)^2}{6}\\\\\\P_{6\Omega}~=~\dfrac{\dfrac{9216}{121}}{6}\\\\\\\boxed{\sf P_{6\Omega}~=~\dfrac{1536}{121}~W~~ou~~ \approx~12,7~W}$

Obs.: Poderíamos ter utilizado o conceito de supernó para os nós A e B, o que facilitaria a análise.

Analise de Malhas:

Utilizando a Lei de Kirchhoff das tensões, teremos que o somatório das quedas/elevações de tensão nos elementos do circuito será nulo quando percorrermos um caminho fechado (malha).

Como vemos na figura anexada, adotamos sentido horário para as duas correntes que percorrem as duas malhas simples contidas no circuito.

Perceba ainda que, pelo principio da superposição, a corrente iₓ que percorre o resistor de 6Ω é dada por:

$\boxed{i_x~=~i_1-i_2}$

Percorrendo a malha à esquerda, temos:

$\sf +12~-~4\cdot i_1~-~6\cdot i_x~=~0\\\\\\12~-~4i_1~-~6\cdot (i_1-i_2)~=~0\\\\\\10i_1-6i_2~=~12\\\\\\\boxed{\sf 5i_1~-~3i_2~=~6}$

Percorrendo a malha à direita, temos:

$\sf +6\cdot i_x~-~10~-~2\cdot i_2~=~0\\\\\\6\cdot (i_1-i_2)~-~10~-~2i_2~=~0\\\\\\6i_1-8i_2~=~10\\\\\\\boxed{\sf 3i_1~-~4i_2~=~5}$

Somando a 1ª equação de malha multiplicada por (-3) com a 2ª equação de malha multiplicada por 5:

$\sf -3\cdot (5i_1-3i_2)~+~5\cdot (3i_1-4i_2)~=~-3\cdot 6~+~5\cdot 5\\\\\\9i_2-20i_2~=~-18+25\\\\\\-11i_2~=~7\\\\\\\boxed{\sf i_2~=\,-\dfrac{7}{11}~A}$

Vamos agora determinar i₁:

$\sf 5i_1~-~3i_2~=~6\\\\\\5i_1~=~6~+~3\cdot \dfrac{-7}{11}\\\\\\5i_1~=~\dfrac{45}{11}\\\\\\i_1~=~\dfrac{45}{5\cdot 11}\\\\\\\boxed{\sf i_1~=~\dfrac{9}{11}~A}$

Por fim, podemos determinar a potencia dissipada:

$\sf P_{6\Omega}~=~6\cdot i_x^2\\\\\\P_{6\Omega}~=~6\cdot \left(\dfrac{9}{11}-\left(-\dfrac{7}{11}\right)\right)^2\\\\\\P_{6\Omega}~=~6\cdot \left(\dfrac{16}{11}\right)^2\\\\\\P_{6\Omega}~=~6\cdot \dfrac{256}{121}\\\\\\\boxed{\sf P_{6\Omega}~=~\dfrac{1536}{121}~W~~~ou~~ \approx~12,7~W}$

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