Question

Determine o valor da integral sen3t cost dt

Answer 1

Resposta: $\displaystyle\int \mathrm{sen}(3t)\cos(t)\,dt=-\,\dfrac{1}{8}\cos(4t)-\dfrac{1}{4}\cos(2t)+C.$

Explicação passo a passo:

Para esta tarefa, utilizaremos a seguinte identidade trigonométrica:

(Transformação de produto em soma)

     $\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen}(\alpha+\beta)+\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen}(\alpha-\beta)$

Para $\alpha=3t$ e $\beta=t,$ a integral fica

     $\begin{array}{l} \displaystyle\int \mathrm{sen}(3t)\cos(t)\, dt=\int\left[\frac{1}{2}\,\mathrm{sen}(3t+t)+\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen}(3t-t)\right]\!dt\\\\ \displaystyle=\frac{1}{2}\int \mathrm{sen}(4t)\,dt+\frac{1}{2}\int\mathrm{sen}(2t)\,dt\\\\ =\dfrac{1}{2}\cdot \left[-\,\dfrac{1}{4}\cos(4t)\right]+\dfrac{1}{2}\cdot \left[-\,\dfrac{1}{2}\cos(2t)\right]+C\\\\ =-\,\dfrac{1}{8}\cos(4t)-\dfrac{1}{4}\cos(2t)+C\end{array}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

c

o

s

4

t

4

−

c

o

s

2

t

2

+

k

, k real

Explicação passo a passo: